Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2148 / 3026
↖ ↑ ↗
← S 64.848937°
E  8.789063°		 ← 4 153.58 m → S 64.848937°
E  8.876953°		 →
↑
4 150.71 m
↓
↑
4 150.71 m
↓
S 64.886265°
E  8.789063°		 ← 4 147.82 m →
17 228 333 m²		 S 64.886265°
E  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5245361328125 y=0.7388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5245361328125 × 212)
    floor (0.5245361328125 × 4096)
    floor (2148.5)     		tx = 2148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7388916015625 × 212)
    floor (0.7388916015625 × 4096)
    floor (3026.5)     		ty = 3026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2148 / 3026 ti = "12/2148/3026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2148/3026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2148 ÷ 212
    2148 ÷ 4096     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3026 ÷ 212
    3026 ÷ 4096     		y = 0.73876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73876953125 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50023321050928))-π/2
    2×atan(0.223078129917381)-π/2
    2×0.219484427572209-π/2
    0.438968855144417-1.57079632675     		φ = -1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2148 KachelY 3026 0.15339808 -1.13182747 8.789063 -64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 2149 KachelY 3026 0.15493206 -1.13182747 8.876953 -64.848937
    Unten links KachelX 2148 KachelY + 1 3027 0.15339808 -1.13247897 8.789063 -64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 2149 KachelY + 1 3027 0.15493206 -1.13247897 8.876953 -64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13182747--1.13247897) × R
    0.000651500000000027 × 6371000     		dl = 4150.70650000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13182747--1.13247897) × R
    0.000651500000000027 × 6371000     		dr = 4150.70650000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15493206) × cos(-1.13182747) × R
    0.00153398000000002 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 4153.58096658729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15493206) × cos(-1.13247897) × R
    0.00153398000000002 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 4147.81664710014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13182747)-sin(-1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.424416488567418)×R²
    abs(0.15493206-0.15339808)×0.000589821692678794×R²
    0.00153398000000002×0.000589821692678794×6371000²
    0.00153398000000002×0.000589821692678794×40589641000000     		ar = 17228333.1264928m²