Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21477 / 29907
↖ ↑ ↗
← N 69.454662°
W121.011658°		 ← 107.19 m → N 69.454662°
W121.008911°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 69.453698°
W121.011658°		 ← 107.19 m →
11 487 m²		 N 69.453698°
W121.008911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163860321044922 y=0.228176116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163860321044922 × 217)
    floor (0.163860321044922 × 131072)
    floor (21477.5)     		tx = 21477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228176116943359 × 217)
    floor (0.228176116943359 × 131072)
    floor (29907.5)     		ty = 29907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21477 / 29907 ti = "17/21477/29907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21477/29907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21477 ÷ 217
    21477 ÷ 131072     		x = 0.163856506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29907 ÷ 217
    29907 ÷ 131072     		y = 0.228172302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163856506347656 × 2 - 1) × π
    -0.672286987304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.11205186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228172302246094 × 2 - 1) × π
    0.543655395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.70794379656298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11205186} λ = -2.11205186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70794379656298))-π/2
    2×atan(5.51760448817236)-π/2
    2×1.3915044304981-π/2
    2.7830088609962-1.57079632675     		φ = 1.21221253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11205186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.011658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21221253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.454662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21477 KachelY 29907 -2.11205186 1.21221253 -121.011658 69.454662
    Oben rechts KachelX + 1 21478 KachelY 29907 -2.11200392 1.21221253 -121.008911 69.454662
    Unten links KachelX 21477 KachelY + 1 29908 -2.11205186 1.21219571 -121.011658 69.453698
    Unten rechts KachelX + 1 21478 KachelY + 1 29908 -2.11200392 1.21219571 -121.008911 69.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21221253-1.21219571) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dl = 107.160219999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21221253-1.21219571) × R
    1.68199999999175e-05 × 6371000     		dr = 107.160219999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11205186--2.11200392) × cos(1.21221253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350948460370708 × 6371000     		do = 107.188693210514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11205186--2.11200392) × cos(1.21219571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350964210481211 × 6371000     		du = 107.193503699669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21221253)-sin(1.21219571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350948460370708-0.350964210481211)×R²
    abs(-2.11200392--2.11205186)×1.57501105024216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57501105024216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57501105024216e-05×40589641000000     		ar = 11486.6216928134m²