Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21474 / 14434
↖ ↑ ↗
← N 80.132694°
W121.019897°		 ← 52.34 m → N 80.132694°
W121.017151°		 →
↑
52.31 m
↓
↑
52.31 m
↓
N 80.132224°
W121.019897°		 ← 52.34 m →
2 738 m²		 N 80.132224°
W121.017151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163837432861328 y=0.110126495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163837432861328 × 217)
    floor (0.163837432861328 × 131072)
    floor (21474.5)     		tx = 21474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110126495361328 × 217)
    floor (0.110126495361328 × 131072)
    floor (14434.5)     		ty = 14434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21474 / 14434 ti = "17/21474/14434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21474/14434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21474 ÷ 217
    21474 ÷ 131072     		x = 0.163833618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14434 ÷ 217
    14434 ÷ 131072     		y = 0.110122680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163833618164062 × 2 - 1) × π
    -0.672332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11219567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110122680664062 × 2 - 1) × π
    0.779754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44967144438411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11219567} λ = -2.11219567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44967144438411))-π/2
    2×atan(11.5845399282354)-π/2
    2×1.48468783855556-π/2
    2.96937567711111-1.57079632675     		φ = 1.39857935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11219567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.019897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39857935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.132694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21474 KachelY 14434 -2.11219567 1.39857935 -121.019897 80.132694
    Oben rechts KachelX + 1 21475 KachelY 14434 -2.11214773 1.39857935 -121.017151 80.132694
    Unten links KachelX 21474 KachelY + 1 14435 -2.11219567 1.39857114 -121.019897 80.132224
    Unten rechts KachelX + 1 21475 KachelY + 1 14435 -2.11214773 1.39857114 -121.017151 80.132224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39857935-1.39857114) × R
    8.210000000064e-06 × 6371000     		dl = 52.3059100004077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39857935-1.39857114) × R
    8.210000000064e-06 × 6371000     		dr = 52.3059100004077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11219567--2.11214773) × cos(1.39857935) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171366950070472 × 6371000     		do = 52.3398775372674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11219567--2.11214773) × cos(1.39857114) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.171375038616398 × 6371000     		du = 52.3423479873924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39857935)-sin(1.39857114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171366950070472-0.171375038616398)×R²
    abs(-2.11214773--2.11219567)×8.08854592609931e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.08854592609931e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.08854592609931e-06×40589641000000     		ar = 2737.74953350947m²