Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2147 / 2273
↖ ↑ ↗
← S 19.394068°
E  8.701172°		 ← 9 218.44 m → S 19.394068°
E  8.789063°		 →
↑
9 216.10 m
↓
↑
9 216.10 m
↓
S 19.476950°
E  8.701172°		 ← 9 213.73 m →
84 936 365 m²		 S 19.476950°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5242919921875 y=0.5550537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5242919921875 × 212)
    floor (0.5242919921875 × 4096)
    floor (2147.5)     		tx = 2147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5550537109375 × 212)
    floor (0.5550537109375 × 4096)
    floor (2273.5)     		ty = 2273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2147 / 2273 ti = "12/2147/2273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2147/2273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2147 ÷ 212
    2147 ÷ 4096     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2273 ÷ 212
    2273 ÷ 4096     		y = 0.554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345145677264404))-π/2
    2×atan(0.708117189378625)-π/2
    2×0.616152993337102-π/2
    1.2323059866742-1.57079632675     		φ = -0.33849034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33849034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.394068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2147 KachelY 2273 0.15186410 -0.33849034 8.701172 -19.394068
    Oben rechts KachelX + 1 2148 KachelY 2273 0.15339808 -0.33849034 8.789063 -19.394068
    Unten links KachelX 2147 KachelY + 1 2274 0.15186410 -0.33993691 8.701172 -19.476950
    Unten rechts KachelX + 1 2148 KachelY + 1 2274 0.15339808 -0.33993691 8.789063 -19.476950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33849034--0.33993691) × R
    0.00144656999999998 × 6371000     		dl = 9216.09746999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33849034--0.33993691) × R
    0.00144656999999998 × 6371000     		dr = 9216.09746999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15339808) × cos(-0.33849034) × R
    0.00153397999999999 × 0.943257043157337 × 6371000     		do = 9218.43842426708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15339808) × cos(-0.33993691) × R
    0.00153397999999999 × 0.94277570335273 × 6371000     		du = 9213.73429681623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33849034)-sin(-0.33993691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943257043157337-0.94277570335273)×R²
    abs(0.15339808-0.15186410)×0.000481339804607295×R²
    0.00153397999999999×0.000481339804607295×6371000²
    0.00153397999999999×0.000481339804607295×40589641000000     		ar = 84936365.0019241m²