Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21454 / 29878
↖ ↑ ↗
← N 69.482597°
W121.074829°		 ← 107.05 m → N 69.482597°
W121.072082°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 69.481634°
W121.074829°		 ← 107.05 m →
11 458 m²		 N 69.481634°
W121.072082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163684844970703 y=0.227954864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163684844970703 × 217)
    floor (0.163684844970703 × 131072)
    floor (21454.5)     		tx = 21454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227954864501953 × 217)
    floor (0.227954864501953 × 131072)
    floor (29878.5)     		ty = 29878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21454 / 29878 ti = "17/21454/29878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21454/29878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21454 ÷ 217
    21454 ÷ 131072     		x = 0.163681030273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29878 ÷ 217
    29878 ÷ 131072     		y = 0.227951049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163681030273438 × 2 - 1) × π
    -0.672637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11315441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227951049804688 × 2 - 1) × π
    0.544097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70933396665196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11315441} λ = -2.11315441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70933396665196))-π/2
    2×atan(5.5252802309525)-π/2
    2×1.3917482108072-π/2
    2.78349642161439-1.57079632675     		φ = 1.21270009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11315441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.074829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21270009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.482597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21454 KachelY 29878 -2.11315441 1.21270009 -121.074829 69.482597
    Oben rechts KachelX + 1 21455 KachelY 29878 -2.11310647 1.21270009 -121.072082 69.482597
    Unten links KachelX 21454 KachelY + 1 29879 -2.11315441 1.21268329 -121.074829 69.481634
    Unten rechts KachelX + 1 21455 KachelY + 1 29879 -2.11310647 1.21268329 -121.072082 69.481634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21270009-1.21268329) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21270009-1.21268329) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11315441--2.11310647) × cos(1.21270009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350491870038569 × 6371000     		do = 107.049238770444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11315441--2.11310647) × cos(1.21268329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350507604294111 × 6371000     		du = 107.054044417086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21270009)-sin(1.21268329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350491870038569-0.350507604294111)×R²
    abs(-2.11310647--2.11315441)×1.57342555411333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57342555411333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57342555411333e-05×40589641000000     		ar = 11458.0369447274m²