Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2145 / 6497
↖ ↑ ↗
← N 34.867905°
W132.868653°		 ← 2 004.64 m → N 34.867905°
W132.846680°		 →
↑
2 004.83 m
↓
↑
2 004.83 m
↓
N 34.849875°
W132.868653°		 ← 2 005.08 m →
4 019 400 m²		 N 34.849875°
W132.846680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130950927734375 y=0.396575927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130950927734375 × 214)
    floor (0.130950927734375 × 16384)
    floor (2145.5)     		tx = 2145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396575927734375 × 214)
    floor (0.396575927734375 × 16384)
    floor (6497.5)     		ty = 6497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2145 / 6497 ti = "14/2145/6497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2145/6497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2145 ÷ 214
    2145 ÷ 16384     		x = 0.13092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6497 ÷ 214
    6497 ÷ 16384     		y = 0.39654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.7381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31899546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39654541015625 × 2 - 1) × π
    0.2069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.650024358847961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31899546} λ = -2.31899546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650024358847961))-π/2
    2×atan(1.91558748995001)-π/2
    2×1.08967803582447-π/2
    2.17935607164895-1.57079632675     		φ = 0.60855974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31899546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.868653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60855974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.867905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2145 KachelY 6497 -2.31899546 0.60855974 -132.868653 34.867905
    Oben rechts KachelX + 1 2146 KachelY 6497 -2.31861196 0.60855974 -132.846680 34.867905
    Unten links KachelX 2145 KachelY + 1 6498 -2.31899546 0.60824506 -132.868653 34.849875
    Unten rechts KachelX + 1 2146 KachelY + 1 6498 -2.31861196 0.60824506 -132.846680 34.849875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60855974-0.60824506) × R
    0.000314680000000012 × 6371000     		dl = 2004.82628000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60855974-0.60824506) × R
    0.000314680000000012 × 6371000     		dr = 2004.82628000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31899546--2.31861196) × cos(0.60855974) × R
    0.00038349999999987 × 0.820472245530492 × 6371000     		do = 2004.64219735069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31899546--2.31861196) × cos(0.60824506) × R
    0.00038349999999987 × 0.820652103168299 × 6371000     		du = 2005.08163965021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60855974)-sin(0.60824506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820472245530492-0.820652103168299)×R²
    abs(-2.31861196--2.31899546)×0.000179857637807035×R²
    0.00038349999999987×0.000179857637807035×6371000²
    0.00038349999999987×0.000179857637807035×40589641000000     		ar = 4019399.89515019m²