Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2145 / 2271
↖ ↑ ↗
← S 19.228177°
E  8.525391°		 ← 9 227.80 m → S 19.228177°
E  8.613281°		 →
↑
9 225.46 m
↓
↑
9 225.46 m
↓
S 19.311143°
E  8.525391°		 ← 9 223.13 m →
85 109 161 m²		 S 19.311143°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5238037109375 y=0.5545654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5238037109375 × 212)
    floor (0.5238037109375 × 4096)
    floor (2145.5)     		tx = 2145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5545654296875 × 212)
    floor (0.5545654296875 × 4096)
    floor (2271.5)     		ty = 2271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2145 / 2271 ti = "12/2145/2271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2145/2271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2145 ÷ 212
    2145 ÷ 4096     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2271 ÷ 212
    2271 ÷ 4096     		y = 0.554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.342077715688721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342077715688721))-π/2
    2×atan(0.710293001654316)-π/2
    2×0.617600666787363-π/2
    1.23520133357473-1.57079632675     		φ = -0.33559499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33559499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.228177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2145 KachelY 2271 0.14879614 -0.33559499 8.525391 -19.228177
    Oben rechts KachelX + 1 2146 KachelY 2271 0.15033012 -0.33559499 8.613281 -19.228177
    Unten links KachelX 2145 KachelY + 1 2272 0.14879614 -0.33704303 8.525391 -19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 2146 KachelY + 1 2272 0.15033012 -0.33704303 8.613281 -19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33559499--0.33704303) × R
    0.00144804000000004 × 6371000     		dl = 9225.46284000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33559499--0.33704303) × R
    0.00144804000000004 × 6371000     		dr = 9225.46284000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.15033012) × cos(-0.33559499) × R
    0.00153398000000002 × 0.944214528108996 × 6371000     		do = 9227.79591185036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.15033012) × cos(-0.33704303) × R
    0.00153398000000002 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 9223.12565315538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33559499)-sin(-0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944214528108996-0.94373665385257)×R²
    abs(0.15033012-0.14879614)×0.000477874256425315×R²
    0.00153398000000002×0.000477874256425315×6371000²
    0.00153398000000002×0.000477874256425315×40589641000000     		ar = 85109160.5024077m²