Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21441 / 29891
↖ ↑ ↗
← N 69.470079°
W121.110535°		 ← 107.11 m → N 69.470079°
W121.107788°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
N 69.469116°
W121.110535°		 ← 107.12 m →
11 472 m²		 N 69.469116°
W121.107788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163585662841797 y=0.228054046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163585662841797 × 217)
    floor (0.163585662841797 × 131072)
    floor (21441.5)     		tx = 21441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228054046630859 × 217)
    floor (0.228054046630859 × 131072)
    floor (29891.5)     		ty = 29891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21441 / 29891 ti = "17/21441/29891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21441/29891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21441 ÷ 217
    21441 ÷ 131072     		x = 0.163581848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29891 ÷ 217
    29891 ÷ 131072     		y = 0.228050231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163581848144531 × 2 - 1) × π
    -0.672836303710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.11377759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228050231933594 × 2 - 1) × π
    0.543899536132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.7087107869569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11377759} λ = -2.11377759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7087107869569))-π/2
    2×atan(5.52183806115961)-π/2
    2×1.39163896922487-π/2
    2.78327793844974-1.57079632675     		φ = 1.21248161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11377759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.110535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21248161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.470079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21441 KachelY 29891 -2.11377759 1.21248161 -121.110535 69.470079
    Oben rechts KachelX + 1 21442 KachelY 29891 -2.11372965 1.21248161 -121.107788 69.470079
    Unten links KachelX 21441 KachelY + 1 29892 -2.11377759 1.21246480 -121.110535 69.469116
    Unten rechts KachelX + 1 21442 KachelY + 1 29892 -2.11372965 1.21246480 -121.107788 69.469116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21248161-1.21246480) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21248161-1.21246480) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11377759--2.11372965) × cos(1.21248161) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.350696482562142 × 6371000     		do = 107.111732702861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11377759--2.11372965) × cos(1.21246480) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.350712224895644 × 6371000     		du = 107.116540816721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21248161)-sin(1.21246480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350696482562142-0.350712224895644)×R²
    abs(-2.11372965--2.11377759)×1.5742333501767e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.5742333501767e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.5742333501767e-05×40589641000000     		ar = 11471.5502187596m²