Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2144 / 6496
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W132.890625°		 ← 2 004.15 m → N 34.885931°
W132.868653°		 →
↑
2 004.44 m
↓
↑
2 004.44 m
↓
N 34.867905°
W132.890625°		 ← 2 004.59 m →
4 017 648 m²		 N 34.867905°
W132.868653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130889892578125 y=0.396514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130889892578125 × 214)
    floor (0.130889892578125 × 16384)
    floor (2144.5)     		tx = 2144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396514892578125 × 214)
    floor (0.396514892578125 × 16384)
    floor (6496.5)     		ty = 6496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2144 / 6496 ti = "14/2144/6496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2144/6496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2144 ÷ 214
    2144 ÷ 16384     		x = 0.130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6496 ÷ 214
    6496 ÷ 16384     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130859375 × 2 - 1) × π
    -0.73828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31937895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31937895} λ = -2.31937895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31937895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2144 KachelY 6496 -2.31937895 0.60887436 -132.890625 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 2145 KachelY 6496 -2.31899546 0.60887436 -132.868653 34.885931
    Unten links KachelX 2144 KachelY + 1 6497 -2.31937895 0.60855974 -132.890625 34.867905
    Unten rechts KachelX + 1 2145 KachelY + 1 6497 -2.31899546 0.60855974 -132.868653 34.867905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60855974) × R
    0.000314619999999932 × 6371000     		dl = 2004.44401999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60855974) × R
    0.000314619999999932 × 6371000     		dr = 2004.44401999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31937895--2.31899546) × cos(0.60887436) × R
    0.000383489999999931 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 2004.15037956494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31937895--2.31899546) × cos(0.60855974) × R
    0.000383489999999931 × 0.820472245530492 × 6371000     		du = 2004.58992506425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60855974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820472245530492)×R²
    abs(-2.31899546--2.31937895)×0.000179904567172096×R²
    0.000383489999999931×0.000179904567172096×6371000²
    0.000383489999999931×0.000179904567172096×40589641000000     		ar = 4017647.7988134m²