Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2143 / 2270
↖ ↑ ↗
← S 19.145168°
E  8.349609°		 ← 9 232.51 m → S 19.145168°
E  8.437500°		 →
↑
9 230.11 m
↓
↑
9 230.11 m
↓
S 19.228177°
E  8.349609°		 ← 9 227.86 m →
85 195 650 m²		 S 19.228177°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5233154296875 y=0.5543212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5233154296875 × 212)
    floor (0.5233154296875 × 4096)
    floor (2143.5)     		tx = 2143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5543212890625 × 212)
    floor (0.5543212890625 × 4096)
    floor (2270.5)     		ty = 2270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2143 / 2270 ti = "12/2143/2270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2143/2270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2143 ÷ 212
    2143 ÷ 4096     		x = 0.523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2270 ÷ 212
    2270 ÷ 4096     		y = 0.55419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.340543734900879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14572817} λ = 0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340543734900879))-π/2
    2×atan(0.711383413594255)-π/2
    2×0.618325052966103-π/2
    1.23665010593221-1.57079632675     		φ = -0.33414622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33414622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.145168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2143 KachelY 2270 0.14572817 -0.33414622 8.349609 -19.145168
    Oben rechts KachelX + 1 2144 KachelY 2270 0.14726216 -0.33414622 8.437500 -19.145168
    Unten links KachelX 2143 KachelY + 1 2271 0.14572817 -0.33559499 8.349609 -19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 2144 KachelY + 1 2271 0.14726216 -0.33559499 8.437500 -19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33414622--0.33559499) × R
    0.00144876999999999 × 6371000     		dl = 9230.11366999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33414622--0.33559499) × R
    0.00144876999999999 × 6371000     		dr = 9230.11366999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.33414622) × R
    0.00153399000000001 × 0.944690661931055 × 6371000     		do = 9232.50934754567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.33559499) × R
    0.00153399000000001 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 9227.85606775791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33414622)-sin(-0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944690661931055-0.944214528108996)×R²
    abs(0.14726216-0.14572817)×0.000476133822059688×R²
    0.00153399000000001×0.000476133822059688×6371000²
    0.00153399000000001×0.000476133822059688×40589641000000     		ar = 85195650.4881663m²