Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2143 / 2173
↖ ↑ ↗
← S 10.919618°
E  8.349609°		 ← 9 596.10 m → S 10.919618°
E  8.437500°		 →
↑
9 594.66 m
↓
↑
9 594.66 m
↓
S 11.005904°
E  8.349609°		 ← 9 593.30 m →
92 057 915 m²		 S 11.005904°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5233154296875 y=0.5306396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5233154296875 × 212)
    floor (0.5233154296875 × 4096)
    floor (2143.5)     		tx = 2143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5306396484375 × 212)
    floor (0.5306396484375 × 4096)
    floor (2173.5)     		ty = 2173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2143 / 2173 ti = "12/2143/2173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2143/2173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2143 ÷ 212
    2143 ÷ 4096     		x = 0.523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2173 ÷ 212
    2173 ÷ 4096     		y = 0.530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14572817} λ = 0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191747598480225))-π/2
    2×atan(0.8255152034905)-π/2
    2×0.690106521912292-π/2
    1.38021304382458-1.57079632675     		φ = -0.19058328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19058328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.919618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2143 KachelY 2173 0.14572817 -0.19058328 8.349609 -10.919618
    Oben rechts KachelX + 1 2144 KachelY 2173 0.14726216 -0.19058328 8.437500 -10.919618
    Unten links KachelX 2143 KachelY + 1 2174 0.14572817 -0.19208927 8.349609 -11.005904
    Unten rechts KachelX + 1 2144 KachelY + 1 2174 0.14726216 -0.19208927 8.437500 -11.005904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19058328--0.19208927) × R
    0.00150599000000001 × 6371000     		dl = 9594.66229000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19058328--0.19208927) × R
    0.00150599000000001 × 6371000     		dr = 9594.66229000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.19058328) × R
    0.00153399000000001 × 0.9818939104607 × 6371000     		do = 9596.09856637726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.19208927) × R
    0.00153399000000001 × 0.981607514933233 × 6371000     		du = 9593.29960848449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19058328)-sin(-0.19208927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818939104607-0.981607514933233)×R²
    abs(0.14726216-0.14572817)×0.000286395527466787×R²
    0.00153399000000001×0.000286395527466787×6371000²
    0.00153399000000001×0.000286395527466787×40589641000000     		ar = 92057914.9170638m²