Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2143 / 2140
↖ ↑ ↗
← S  8.059230°
E  8.349609°		 ← 9 676.53 m → S  8.059230°
E  8.437500°		 →
↑
9 675.45 m
↓
↑
9 675.45 m
↓
S  8.146243°
E  8.349609°		 ← 9 674.44 m →
93 614 631 m²		 S  8.146243°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5233154296875 y=0.5225830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5233154296875 × 212)
    floor (0.5233154296875 × 4096)
    floor (2143.5)     		tx = 2143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5225830078125 × 212)
    floor (0.5225830078125 × 4096)
    floor (2140.5)     		ty = 2140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2143 / 2140 ti = "12/2143/2140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2143/2140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2143 ÷ 212
    2143 ÷ 4096     		x = 0.523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2140 ÷ 212
    2140 ÷ 4096     		y = 0.5224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    -0.044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14572817} λ = 0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141126232481445))-π/2
    2×atan(0.868379687055984)-π/2
    2×0.715068117314986-π/2
    1.43013623462997-1.57079632675     		φ = -0.14066009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14066009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.059230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2143 KachelY 2140 0.14572817 -0.14066009 8.349609 -8.059230
    Oben rechts KachelX + 1 2144 KachelY 2140 0.14726216 -0.14066009 8.437500 -8.059230
    Unten links KachelX 2143 KachelY + 1 2141 0.14572817 -0.14217876 8.349609 -8.146243
    Unten rechts KachelX + 1 2144 KachelY + 1 2141 0.14726216 -0.14217876 8.437500 -8.146243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14066009--0.14217876) × R
    0.00151867 × 6371000     		dl = 9675.44657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14066009--0.14217876) × R
    0.00151867 × 6371000     		dr = 9675.44657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.14066009) × R
    0.00153399000000001 × 0.990123669476922 × 6371000     		do = 9676.52841511737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14572817-0.14726216) × cos(-0.14217876) × R
    0.00153399000000001 × 0.989909615222384 × 6371000     		du = 9674.43645212299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14066009)-sin(-0.14217876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990123669476922-0.989909615222384)×R²
    abs(0.14726216-0.14572817)×0.00021405425453791×R²
    0.00153399000000001×0.00021405425453791×6371000²
    0.00153399000000001×0.00021405425453791×40589641000000     		ar = 93614631.317876m²