Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2141 / 621
↖ ↑ ↗
← N 82.039656°
W 85.913086°		 ← 676.72 m → N 82.039656°
W 85.869141°		 →
↑
676.98 m
↓
↑
676.98 m
↓
N 82.033568°
W 85.913086°		 ← 677.23 m →
458 301 m²		 N 82.033568°
W 85.869141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26141357421875 y=0.07586669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26141357421875 × 213)
    floor (0.26141357421875 × 8192)
    floor (2141.5)     		tx = 2141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07586669921875 × 213)
    floor (0.07586669921875 × 8192)
    floor (621.5)     		ty = 621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2141 / 621 ti = "13/2141/621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2141/621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2141 ÷ 213
    2141 ÷ 8192     		x = 0.2613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 621 ÷ 213
    621 ÷ 8192     		y = 0.0758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49946622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0758056640625 × 2 - 1) × π
    0.848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49946622} λ = -1.49946622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66529161887512))-π/2
    2×atan(14.372140122277)-π/2
    2×1.50132922486309-π/2
    3.00265844972618-1.57079632675     		φ = 1.43186212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49946622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.913086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43186212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.039656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2141 KachelY 621 -1.49946622 1.43186212 -85.913086 82.039656
    Oben rechts KachelX + 1 2142 KachelY 621 -1.49869923 1.43186212 -85.869141 82.039656
    Unten links KachelX 2141 KachelY + 1 622 -1.49946622 1.43175586 -85.913086 82.033568
    Unten rechts KachelX + 1 2142 KachelY + 1 622 -1.49869923 1.43175586 -85.869141 82.033568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43186212-1.43175586) × R
    0.000106259999999914 × 6371000     		dl = 676.98245999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43186212-1.43175586) × R
    0.000106259999999914 × 6371000     		dr = 676.98245999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49946622--1.49869923) × cos(1.43186212) × R
    0.000766990000000023 × 0.138487670109127 × 6371000     		do = 676.719070736005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49946622--1.49869923) × cos(1.43175586) × R
    0.000766990000000023 × 0.138592905422501 × 6371000     		du = 677.233302388678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43186212)-sin(1.43175586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138487670109127-0.138592905422501)×R²
    abs(-1.49869923--1.49946622)×0.000105235313373836×R²
    0.000766990000000023×0.000105235313373836×6371000²
    0.000766990000000023×0.000105235313373836×40589641000000     		ar = 458301.004573036m²