Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2141 / 2138
↖ ↑ ↗
← S  7.885147°
E  8.173828°		 ← 9 680.58 m → S  7.885147°
E  8.261719°		 →
↑
9 679.59 m
↓
↑
9 679.59 m
↓
S  7.972198°
E  8.173828°		 ← 9 678.54 m →
93 694 163 m²		 S  7.972198°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5228271484375 y=0.5220947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5228271484375 × 212)
    floor (0.5228271484375 × 4096)
    floor (2141.5)     		tx = 2141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5220947265625 × 212)
    floor (0.5220947265625 × 4096)
    floor (2138.5)     		ty = 2138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2141 / 2138 ti = "12/2141/2138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2141/2138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2141 ÷ 212
    2141 ÷ 4096     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2138 ÷ 212
    2138 ÷ 4096     		y = 0.52197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138058270905762))-π/2
    2×atan(0.871047933514901)-π/2
    2×0.716587272349182-π/2
    1.43317454469836-1.57079632675     		φ = -0.13762178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13762178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.885147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2141 KachelY 2138 0.14266021 -0.13762178 8.173828 -7.885147
    Oben rechts KachelX + 1 2142 KachelY 2138 0.14419419 -0.13762178 8.261719 -7.885147
    Unten links KachelX 2141 KachelY + 1 2139 0.14266021 -0.13914110 8.173828 -7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 2142 KachelY + 1 2139 0.14419419 -0.13914110 8.261719 -7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13762178--0.13914110) × R
    0.00151931999999999 × 6371000     		dl = 9679.58771999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13762178--0.13914110) × R
    0.00151931999999999 × 6371000     		dr = 9679.58771999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14419419) × cos(-0.13762178) × R
    0.00153397999999999 × 0.990545059830871 × 6371000     		do = 9680.58357661233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14419419) × cos(-0.13914110) × R
    0.00153397999999999 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 9678.53540004228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13762178)-sin(-0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990545059830871-0.990335484533361)×R²
    abs(0.14419419-0.14266021)×0.000209575297509423×R²
    0.00153397999999999×0.000209575297509423×6371000²
    0.00153397999999999×0.000209575297509423×40589641000000     		ar = 93694163.181336m²