Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2140 / 1979
↖ ↑ ↗
← N 79.452500°
W132.978516°		 ← 447.23 m → N 79.452500°
W132.956543°		 →
↑
447.31 m
↓
↑
447.31 m
↓
N 79.448478°
W132.978516°		 ← 447.40 m →
200 088 m²		 N 79.448478°
W132.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130645751953125 y=0.120819091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130645751953125 × 214)
    floor (0.130645751953125 × 16384)
    floor (2140.5)     		tx = 2140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120819091796875 × 214)
    floor (0.120819091796875 × 16384)
    floor (1979.5)     		ty = 1979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2140 / 1979 ti = "14/2140/1979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2140/1979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2140 ÷ 214
    2140 ÷ 16384     		x = 0.130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1979 ÷ 214
    1979 ÷ 16384     		y = 0.12078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.73876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32091293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12078857421875 × 2 - 1) × π
    0.7584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38265565871527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32091293} λ = -2.32091293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38265565871527))-π/2
    2×atan(10.8336351330537)-π/2
    2×1.47875202768268-π/2
    2.95750405536536-1.57079632675     		φ = 1.38670773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32091293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38670773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.452500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2140 KachelY 1979 -2.32091293 1.38670773 -132.978516 79.452500
    Oben rechts KachelX + 1 2141 KachelY 1979 -2.32052944 1.38670773 -132.956543 79.452500
    Unten links KachelX 2140 KachelY + 1 1980 -2.32091293 1.38663752 -132.978516 79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 2141 KachelY + 1 1980 -2.32052944 1.38663752 -132.956543 79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38670773-1.38663752) × R
    7.02099999998484e-05 × 6371000     		dl = 447.307909999034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38670773-1.38663752) × R
    7.02099999998484e-05 × 6371000     		dr = 447.307909999034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32091293--2.32052944) × cos(1.38670773) × R
    0.000383489999999931 × 0.183050606004706 × 6371000     		do = 447.23194790908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32091293--2.32052944) × cos(1.38663752) × R
    0.000383489999999931 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 447.40058652196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38670773)-sin(1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183050606004706-0.183119629249642)×R²
    abs(-2.32052944--2.32091293)×6.90232449354344e-05×R²
    0.000383489999999931×6.90232449354344e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.90232449354344e-05×40589641000000     		ar = 200088.104679168m²