Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2140 / 1966
↖ ↑ ↗
← N 79.504660°
W132.978516°		 ← 445.05 m → N 79.504660°
W132.956543°		 →
↑
445.14 m
↓
↑
445.14 m
↓
N 79.500656°
W132.978516°		 ← 445.21 m →
198 146 m²		 N 79.500656°
W132.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130645751953125 y=0.120025634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130645751953125 × 214)
    floor (0.130645751953125 × 16384)
    floor (2140.5)     		tx = 2140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120025634765625 × 214)
    floor (0.120025634765625 × 16384)
    floor (1966.5)     		ty = 1966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2140 / 1966 ti = "14/2140/1966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2140/1966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2140 ÷ 214
    2140 ÷ 16384     		x = 0.130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1966 ÷ 214
    1966 ÷ 16384     		y = 0.1199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.73876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32091293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1199951171875 × 2 - 1) × π
    0.760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38764109627576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32091293} λ = -2.32091293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38764109627576))-π/2
    2×atan(10.8877804013433)-π/2
    2×1.4792072049376-π/2
    2.9584144098752-1.57079632675     		φ = 1.38761808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32091293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38761808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.504660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2140 KachelY 1966 -2.32091293 1.38761808 -132.978516 79.504660
    Oben rechts KachelX + 1 2141 KachelY 1966 -2.32052944 1.38761808 -132.956543 79.504660
    Unten links KachelX 2140 KachelY + 1 1967 -2.32091293 1.38754821 -132.978516 79.500656
    Unten rechts KachelX + 1 2141 KachelY + 1 1967 -2.32052944 1.38754821 -132.956543 79.500656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38761808-1.38754821) × R
    6.98699999999164e-05 × 6371000     		dl = 445.141769999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38761808-1.38754821) × R
    6.98699999999164e-05 × 6371000     		dr = 445.141769999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32091293--2.32052944) × cos(1.38761808) × R
    0.000383489999999931 × 0.182155562014126 × 6371000     		do = 445.045163193596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32091293--2.32052944) × cos(1.38754821) × R
    0.000383489999999931 × 0.1822242626251 × 6371000     		du = 445.213013542409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38761808)-sin(1.38754821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182155562014126-0.1822242626251)×R²
    abs(-2.32052944--2.32091293)×6.87006109736654e-05×R²
    0.000383489999999931×6.87006109736654e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.87006109736654e-05×40589641000000     		ar = 198145.550353876m²