Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21396 / 14460
↖ ↑ ↗
← N 80.120449°
W121.234131°		 ← 52.40 m → N 80.120449°
W121.231384°		 →
↑
52.37 m
↓
↑
52.37 m
↓
N 80.119978°
W121.234131°		 ← 52.41 m →
2 744 m²		 N 80.119978°
W121.231384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163242340087891 y=0.110324859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163242340087891 × 217)
    floor (0.163242340087891 × 131072)
    floor (21396.5)     		tx = 21396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110324859619141 × 217)
    floor (0.110324859619141 × 131072)
    floor (14460.5)     		ty = 14460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21396 / 14460 ti = "17/21396/14460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21396/14460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21396 ÷ 217
    21396 ÷ 131072     		x = 0.163238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14460 ÷ 217
    14460 ÷ 131072     		y = 0.110321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.67352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11593475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110321044921875 × 2 - 1) × π
    0.77935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44842508499399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11593475} λ = -2.11593475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44842508499399))-π/2
    2×atan(11.5701104221587)-π/2
    2×1.48458098055964-π/2
    2.96916196111928-1.57079632675     		φ = 1.39836563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11593475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39836563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.120449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21396 KachelY 14460 -2.11593475 1.39836563 -121.234131 80.120449
    Oben rechts KachelX + 1 21397 KachelY 14460 -2.11588681 1.39836563 -121.231384 80.120449
    Unten links KachelX 21396 KachelY + 1 14461 -2.11593475 1.39835741 -121.234131 80.119978
    Unten rechts KachelX + 1 21397 KachelY + 1 14461 -2.11588681 1.39835741 -121.231384 80.119978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39836563-1.39835741) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dl = 52.3696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39836563-1.39835741) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dr = 52.3696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11593475--2.11588681) × cos(1.39836563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171577504653301 × 6371000     		do = 52.4041863260535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11593475--2.11588681) × cos(1.39835741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17158560275004 × 6371000     		du = 52.4066596932425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39836563)-sin(1.39835741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171577504653301-0.17158560275004)×R²
    abs(-2.11588681--2.11593475)×8.09809673885109e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.09809673885109e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.09809673885109e-06×40589641000000     		ar = 2744.45208908193m²