Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21396 / 11676
↖ ↑ ↗
← N 81.349728°
W121.234131°		 ← 45.94 m → N 81.349728°
W121.231384°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.349315°
W121.234131°		 ← 45.94 m →
2 110 m²		 N 81.349315°
W121.231384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163242340087891 y=0.0890846252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163242340087891 × 217)
    floor (0.163242340087891 × 131072)
    floor (21396.5)     		tx = 21396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890846252441406 × 217)
    floor (0.0890846252441406 × 131072)
    floor (11676.5)     		ty = 11676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21396 / 11676 ti = "17/21396/11676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21396/11676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21396 ÷ 217
    21396 ÷ 131072     		x = 0.163238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11676 ÷ 217
    11676 ÷ 131072     		y = 0.089080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.67352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11593475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089080810546875 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58188141353622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11593475} λ = -2.11593475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58188141353622))-π/2
    2×atan(13.2219908057528)-π/2
    2×1.49530846567924-π/2
    2.99061693135848-1.57079632675     		φ = 1.41982060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11593475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.234131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41982060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.349728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21396 KachelY 11676 -2.11593475 1.41982060 -121.234131 81.349728
    Oben rechts KachelX + 1 21397 KachelY 11676 -2.11588681 1.41982060 -121.231384 81.349728
    Unten links KachelX 21396 KachelY + 1 11677 -2.11593475 1.41981339 -121.234131 81.349315
    Unten rechts KachelX + 1 21397 KachelY + 1 11677 -2.11588681 1.41981339 -121.231384 81.349315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41982060-1.41981339) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41982060-1.41981339) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11593475--2.11588681) × cos(1.41982060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150402831619535 × 6371000     		do = 45.9368961454617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11593475--2.11588681) × cos(1.41981339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150409959600408 × 6371000     		du = 45.9390732142946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41982060)-sin(1.41981339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150402831619535-0.150409959600408)×R²
    abs(-2.11588681--2.11593475)×7.12798087329491e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12798087329491e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12798087329491e-06×40589641000000     		ar = 2110.15719190372m²