Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21393 / 14417
↖ ↑ ↗
← N 80.140693°
W121.242371°		 ← 52.30 m → N 80.140693°
W121.239624°		 →
↑
52.31 m
↓
↑
52.31 m
↓
N 80.140222°
W121.242371°		 ← 52.30 m →
2 736 m²		 N 80.140222°
W121.239624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163219451904297 y=0.109996795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163219451904297 × 217)
    floor (0.163219451904297 × 131072)
    floor (21393.5)     		tx = 21393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109996795654297 × 217)
    floor (0.109996795654297 × 131072)
    floor (14417.5)     		ty = 14417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21393 / 14417 ti = "17/21393/14417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21393/14417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21393 ÷ 217
    21393 ÷ 131072     		x = 0.163215637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14417 ÷ 217
    14417 ÷ 131072     		y = 0.109992980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163215637207031 × 2 - 1) × π
    -0.673568725585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.11607856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109992980957031 × 2 - 1) × π
    0.780014038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.45048637167765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11607856} λ = -2.11607856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45048637167765))-π/2
    2×atan(11.5939843337353)-π/2
    2×1.48475763633451-π/2
    2.96951527266903-1.57079632675     		φ = 1.39871895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11607856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.242371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39871895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.140693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21393 KachelY 14417 -2.11607856 1.39871895 -121.242371 80.140693
    Oben rechts KachelX + 1 21394 KachelY 14417 -2.11603062 1.39871895 -121.239624 80.140693
    Unten links KachelX 21393 KachelY + 1 14418 -2.11607856 1.39871074 -121.242371 80.140222
    Unten rechts KachelX + 1 21394 KachelY + 1 14418 -2.11603062 1.39871074 -121.239624 80.140222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39871895-1.39871074) × R
    8.20999999984195e-06 × 6371000     		dl = 52.3059099989931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39871895-1.39871074) × R
    8.20999999984195e-06 × 6371000     		dr = 52.3059099989931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11607856--2.11603062) × cos(1.39871895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171229413465961 × 6371000     		do = 52.2978703175728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11607856--2.11603062) × cos(1.39871074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171237502208219 × 6371000     		du = 52.3003408276626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39871895)-sin(1.39871074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171229413465961-0.171237502208219)×R²
    abs(-2.11603062--2.11607856)×8.08874225807776e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.08874225807776e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.08874225807776e-06×40589641000000     		ar = 2735.5523091538m²