Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21390 / 14450
↖ ↑ ↗
← N 80.125160°
W121.250610°		 ← 52.38 m → N 80.125160°
W121.247864°		 →
↑
52.37 m
↓
↑
52.37 m
↓
N 80.124689°
W121.250610°		 ← 52.38 m →
2 743 m²		 N 80.124689°
W121.247864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163196563720703 y=0.110248565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163196563720703 × 217)
    floor (0.163196563720703 × 131072)
    floor (21390.5)     		tx = 21390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110248565673828 × 217)
    floor (0.110248565673828 × 131072)
    floor (14450.5)     		ty = 14450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21390 / 14450 ti = "17/21390/14450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21390/14450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21390 ÷ 217
    21390 ÷ 131072     		x = 0.163192749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14450 ÷ 217
    14450 ÷ 131072     		y = 0.110244750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163192749023438 × 2 - 1) × π
    -0.673614501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11622237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110244750976562 × 2 - 1) × π
    0.779510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44890445399019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11622237} λ = -2.11622237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44890445399019))-π/2
    2×atan(11.5756581039648)-π/2
    2×1.48462209531746-π/2
    2.96924419063493-1.57079632675     		φ = 1.39844786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11622237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.250610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39844786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.125160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21390 KachelY 14450 -2.11622237 1.39844786 -121.250610 80.125160
    Oben rechts KachelX + 1 21391 KachelY 14450 -2.11617443 1.39844786 -121.247864 80.125160
    Unten links KachelX 21390 KachelY + 1 14451 -2.11622237 1.39843964 -121.250610 80.124689
    Unten rechts KachelX + 1 21391 KachelY + 1 14451 -2.11617443 1.39843964 -121.247864 80.124689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39844786-1.39843964) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dl = 52.3696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39844786-1.39843964) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dr = 52.3696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11622237--2.11617443) × cos(1.39844786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171496493492834 × 6371000     		do = 52.3794434324196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11622237--2.11617443) × cos(1.39843964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171504591705522 × 6371000     		du = 52.3819168350227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39844786)-sin(1.39843964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171496493492834-0.171504591705522)×R²
    abs(-2.11617443--2.11622237)×8.09821268868416e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.09821268868416e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.09821268868416e-06×40589641000000     		ar = 2743.15631394818m²