Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2139 / 1338
↖ ↑ ↗
← N 76.247817°
W 86.000977°		 ← 1 161.63 m → N 76.247817°
W 85.957031°		 →
↑
1 162.07 m
↓
↑
1 162.07 m
↓
N 76.237366°
W 86.000977°		 ← 1 162.50 m →
1 350 400 m²		 N 76.237366°
W 85.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26116943359375 y=0.16339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26116943359375 × 213)
    floor (0.26116943359375 × 8192)
    floor (2139.5)     		tx = 2139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16339111328125 × 213)
    floor (0.16339111328125 × 8192)
    floor (1338.5)     		ty = 1338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2139 / 1338 ti = "13/2139/1338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2139/1338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2139 ÷ 213
    2139 ÷ 8192     		x = 0.2611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1338 ÷ 213
    1338 ÷ 8192     		y = 0.163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2611083984375 × 2 - 1) × π
    -0.477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50100020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163330078125 × 2 - 1) × π
    0.67333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11535950643384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50100020} λ = -1.50100020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11535950643384))-π/2
    2×atan(8.29256646129344)-π/2
    2×1.45078588690492-π/2
    2.90157177380983-1.57079632675     		φ = 1.33077545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50100020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.000977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33077545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.247817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2139 KachelY 1338 -1.50100020 1.33077545 -86.000977 76.247817
    Oben rechts KachelX + 1 2140 KachelY 1338 -1.50023321 1.33077545 -85.957031 76.247817
    Unten links KachelX 2139 KachelY + 1 1339 -1.50100020 1.33059305 -86.000977 76.237366
    Unten rechts KachelX + 1 2140 KachelY + 1 1339 -1.50023321 1.33059305 -85.957031 76.237366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33077545-1.33059305) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dl = 1162.07039999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33077545-1.33059305) × R
    0.000182399999999916 × 6371000     		dr = 1162.07039999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50100020--1.50023321) × cos(1.33077545) × R
    0.000766990000000023 × 0.237722904799009 × 6371000     		do = 1161.6313791797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50100020--1.50023321) × cos(1.33059305) × R
    0.000766990000000023 × 0.237900071984955 × 6371000     		du = 1162.49710544503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33077545)-sin(1.33059305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237722904799009-0.237900071984955)×R²
    abs(-1.50023321--1.50100020)×0.000177167185945598×R²
    0.000766990000000023×0.000177167185945598×6371000²
    0.000766990000000023×0.000177167185945598×40589641000000     		ar = 1350400.4626301m²