Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21387 / 24195
↖ ↑ ↗
← S 64.788168°
E 54.964600°		 ← 520.35 m → S 64.788168°
E 54.975586°		 →
↑
520.38 m
↓
↑
520.38 m
↓
S 64.792848°
E 54.964600°		 ← 520.26 m →
270 758 m²		 S 64.792848°
E 54.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652694702148438 y=0.738388061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652694702148438 × 215)
    floor (0.652694702148438 × 32768)
    floor (21387.5)     		tx = 21387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738388061523438 × 215)
    floor (0.738388061523438 × 32768)
    floor (24195.5)     		ty = 24195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21387 / 24195 ti = "15/21387/24195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21387/24195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21387 ÷ 215
    21387 ÷ 32768     		x = 0.652679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24195 ÷ 215
    24195 ÷ 32768     		y = 0.738372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652679443359375 × 2 - 1) × π
    0.30535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95931324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.47674560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49774049172903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95931324} λ = 0.95931324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49774049172903))-π/2
    2×atan(0.223634894601885)-π/2
    2×0.22001473614192-π/2
    0.44002947228384-1.57079632675     		φ = -1.13076685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95931324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.964600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13076685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.788168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21387 KachelY 24195 0.95931324 -1.13076685 54.964600 -64.788168
    Oben rechts KachelX + 1 21388 KachelY 24195 0.95950498 -1.13076685 54.975586 -64.788168
    Unten links KachelX 21387 KachelY + 1 24196 0.95931324 -1.13084853 54.964600 -64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 21388 KachelY + 1 24196 0.95950498 -1.13084853 54.975586 -64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13076685--1.13084853) × R
    8.16799999998619e-05 × 6371000     		dl = 520.38327999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13076685--1.13084853) × R
    8.16799999998619e-05 × 6371000     		dr = 520.38327999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95931324-0.95950498) × cos(-1.13076685) × R
    0.000191739999999996 × 0.425966134060159 × 6371000     		do = 520.34981023624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95931324-0.95950498) × cos(-1.13084853) × R
    0.000191739999999996 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 520.259535179413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13076685)-sin(-1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425966134060159-0.425892233548999)×R²
    abs(0.95950498-0.95931324)×7.39005111606295e-05×R²
    0.000191739999999996×7.39005111606295e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.39005111606295e-05×40589641000000     		ar = 270757.852333182m²