Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21385 / 10881
↖ ↑ ↗
← N 81.672027°
W121.264344°		 ← 44.24 m → N 81.672027°
W121.261597°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.671628°
W121.264344°		 ← 44.24 m →
1 959 m²		 N 81.671628°
W121.261597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163158416748047 y=0.0830192565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163158416748047 × 217)
    floor (0.163158416748047 × 131072)
    floor (21385.5)     		tx = 21385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0830192565917969 × 217)
    floor (0.0830192565917969 × 131072)
    floor (10881.5)     		ty = 10881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21385 / 10881 ti = "17/21385/10881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21385/10881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21385 ÷ 217
    21385 ÷ 131072     		x = 0.163154602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10881 ÷ 217
    10881 ÷ 131072     		y = 0.0830154418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163154602050781 × 2 - 1) × π
    -0.673690795898438 × 3.1415926535     		Λ = -2.11646206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830154418945312 × 2 - 1) × π
    0.833969116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.61999124873417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11646206} λ = -2.11646206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61999124873417))-π/2
    2×atan(13.7356033806354)-π/2
    2×1.49812104732651-π/2
    2.99624209465302-1.57079632675     		φ = 1.42544577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11646206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.264344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42544577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21385 KachelY 10881 -2.11646206 1.42544577 -121.264344 81.672027
    Oben rechts KachelX + 1 21386 KachelY 10881 -2.11641412 1.42544577 -121.261597 81.672027
    Unten links KachelX 21385 KachelY + 1 10882 -2.11646206 1.42543882 -121.264344 81.671628
    Unten rechts KachelX + 1 21386 KachelY + 1 10882 -2.11641412 1.42543882 -121.261597 81.671628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42544577-1.42543882) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42544577-1.42543882) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11646206--2.11641412) × cos(1.42544577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144839298843974 × 6371000     		do = 44.2376500304728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11646206--2.11641412) × cos(1.42543882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144846175554062 × 6371000     		du = 44.2397503547402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42544577)-sin(1.42543882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144839298843974-0.144846175554062)×R²
    abs(-2.11641412--2.11646206)×6.87671008811619e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.87671008811619e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.87671008811619e-06×40589641000000     		ar = 1958.82107451139m²