Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21384 / 24198
↖ ↑ ↗
← S 64.802204°
E 54.931640°		 ← 520.11 m → S 64.802204°
E 54.942627°		 →
↑
520.06 m
↓
↑
520.06 m
↓
S 64.806881°
E 54.931640°		 ← 520.02 m →
270 465 m²		 S 64.806881°
E 54.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652603149414062 y=0.738479614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652603149414062 × 215)
    floor (0.652603149414062 × 32768)
    floor (21384.5)     		tx = 21384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738479614257812 × 215)
    floor (0.738479614257812 × 32768)
    floor (24198.5)     		ty = 24198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21384 / 24198 ti = "15/21384/24198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21384/24198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21384 ÷ 215
    21384 ÷ 32768     		x = 0.652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24198 ÷ 215
    24198 ÷ 32768     		y = 0.73846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652587890625 × 2 - 1) × π
    0.30517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95873799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49831573452448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95873799} λ = 0.95873799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49831573452448))-π/2
    2×atan(0.223506287233733)-π/2
    2×0.219892251045581-π/2
    0.439784502091162-1.57079632675     		φ = -1.13101182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95873799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.931640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13101182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.802204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21384 KachelY 24198 0.95873799 -1.13101182 54.931640 -64.802204
    Oben rechts KachelX + 1 21385 KachelY 24198 0.95892974 -1.13101182 54.942627 -64.802204
    Unten links KachelX 21384 KachelY + 1 24199 0.95873799 -1.13109345 54.931640 -64.806881
    Unten rechts KachelX + 1 21385 KachelY + 1 24199 0.95892974 -1.13109345 54.942627 -64.806881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13101182--1.13109345) × R
    8.16300000001657e-05 × 6371000     		dl = 520.064730001056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13101182--1.13109345) × R
    8.16300000001657e-05 × 6371000     		dr = 520.064730001056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95873799-0.95892974) × cos(-1.13101182) × R
    0.000191749999999935 × 0.425744487342035 × 6371000     		do = 520.106176207982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95873799-0.95892974) × cos(-1.13109345) × R
    0.000191749999999935 × 0.42567062355452 × 6371000     		du = 520.015941306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13101182)-sin(-1.13109345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425744487342035-0.42567062355452)×R²
    abs(0.95892974-0.95873799)×7.38637875146719e-05×R²
    0.000191749999999935×7.38637875146719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.38637875146719e-05×40589641000000     		ar = 270465.414256437m²