Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21384 / 14215
↖ ↑ ↗
← N 80.235240°
W121.267090°		 ← 51.79 m → N 80.235240°
W121.264344°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
N 80.234775°
W121.267090°		 ← 51.79 m →
2 683 m²		 N 80.234775°
W121.264344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163150787353516 y=0.108455657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163150787353516 × 217)
    floor (0.163150787353516 × 131072)
    floor (21384.5)     		tx = 21384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108455657958984 × 217)
    floor (0.108455657958984 × 131072)
    floor (14215.5)     		ty = 14215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21384 / 14215 ti = "17/21384/14215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21384/14215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21384 ÷ 217
    21384 ÷ 131072     		x = 0.16314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14215 ÷ 217
    14215 ÷ 131072     		y = 0.108451843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.6737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11650999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108451843261719 × 2 - 1) × π
    0.783096313476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.4601696254009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11650999} λ = -2.11650999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4601696254009))-π/2
    2×atan(11.7067971417303)-π/2
    2×1.48558272288346-π/2
    2.97116544576692-1.57079632675     		φ = 1.40036912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11650999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40036912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.235240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21384 KachelY 14215 -2.11650999 1.40036912 -121.267090 80.235240
    Oben rechts KachelX + 1 21385 KachelY 14215 -2.11646206 1.40036912 -121.264344 80.235240
    Unten links KachelX 21384 KachelY + 1 14216 -2.11650999 1.40036099 -121.267090 80.234775
    Unten rechts KachelX + 1 21385 KachelY + 1 14216 -2.11646206 1.40036099 -121.264344 80.234775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40036912-1.40036099) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dl = 51.7962299992614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40036912-1.40036099) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dr = 51.7962299992614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11650999--2.11646206) × cos(1.40036912) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169603382125192 × 6371000     		do = 51.7904330606462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11650999--2.11646206) × cos(1.40036099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169611394335408 × 6371000     		du = 51.7928796854225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40036912)-sin(1.40036099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169603382125192-0.169611394335408)×R²
    abs(-2.11646206--2.11650999)×8.01221021581866e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.01221021581866e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.01221021581866e-06×40589641000000     		ar = 2682.61254552576m²