Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21382 / 24200
↖ ↑ ↗
← S 64.811557°
E 54.909668°		 ← 519.90 m → S 64.811557°
E 54.920654°		 →
↑
519.87 m
↓
↑
519.87 m
↓
S 64.816233°
E 54.909668°		 ← 519.81 m →
270 258 m²		 S 64.816233°
E 54.920654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652542114257812 y=0.738540649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652542114257812 × 215)
    floor (0.652542114257812 × 32768)
    floor (21382.5)     		tx = 21382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738540649414062 × 215)
    floor (0.738540649414062 × 32768)
    floor (24200.5)     		ty = 24200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21382 / 24200 ti = "15/21382/24200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21382/24200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21382 ÷ 215
    21382 ÷ 32768     		x = 0.65252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24200 ÷ 215
    24200 ÷ 32768     		y = 0.738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.47705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49869922972144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95835450} λ = 0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49869922972144))-π/2
    2×atan(0.223420590079363)-π/2
    2×0.21981062972599-π/2
    0.439621259451981-1.57079632675     		φ = -1.13117507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13117507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.811557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21382 KachelY 24200 0.95835450 -1.13117507 54.909668 -64.811557
    Oben rechts KachelX + 1 21383 KachelY 24200 0.95854624 -1.13117507 54.920654 -64.811557
    Unten links KachelX 21382 KachelY + 1 24201 0.95835450 -1.13125667 54.909668 -64.816233
    Unten rechts KachelX + 1 21383 KachelY + 1 24201 0.95854624 -1.13125667 54.920654 -64.816233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13117507--1.13125667) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dl = 519.873599999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13117507--1.13125667) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dr = 519.873599999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95835450-0.95854624) × cos(-1.13117507) × R
    0.000191739999999996 × 0.425596765979697 × 6371000     		do = 519.898599223891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95835450-0.95854624) × cos(-1.13125667) × R
    0.000191739999999996 × 0.425522923668576 × 6371000     		du = 519.808395262808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13117507)-sin(-1.13125667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425596765979697-0.425522923668576)×R²
    abs(0.95854624-0.95835450)×7.38423111210085e-05×R²
    0.000191739999999996×7.38423111210085e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.38423111210085e-05×40589641000000     		ar = 270258.109233756m²