Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21382 / 13150
↖ ↑ ↗
← N 80.719069°
W121.272583°		 ← 49.26 m → N 80.719069°
W121.269836°		 →
↑
49.25 m
↓
↑
49.25 m
↓
N 80.718626°
W121.272583°		 ← 49.26 m →
2 426 m²		 N 80.718626°
W121.269836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163135528564453 y=0.100330352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163135528564453 × 217)
    floor (0.163135528564453 × 131072)
    floor (21382.5)     		tx = 21382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100330352783203 × 217)
    floor (0.100330352783203 × 131072)
    floor (13150.5)     		ty = 13150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21382 / 13150 ti = "17/21382/13150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21382/13150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21382 ÷ 217
    21382 ÷ 131072     		x = 0.163131713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13150 ÷ 217
    13150 ÷ 131072     		y = 0.100326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163131713867188 × 2 - 1) × π
    -0.673736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11660587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100326538085938 × 2 - 1) × π
    0.799346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51122242349626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11660587} λ = -2.11660587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51122242349626))-π/2
    2×atan(12.3199810936302)-π/2
    2×1.48980492753489-π/2
    2.97960985506977-1.57079632675     		φ = 1.40881353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11660587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.272583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40881353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.719069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21382 KachelY 13150 -2.11660587 1.40881353 -121.272583 80.719069
    Oben rechts KachelX + 1 21383 KachelY 13150 -2.11655793 1.40881353 -121.269836 80.719069
    Unten links KachelX 21382 KachelY + 1 13151 -2.11660587 1.40880580 -121.272583 80.718626
    Unten rechts KachelX + 1 21383 KachelY + 1 13151 -2.11655793 1.40880580 -121.269836 80.718626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40881353-1.40880580) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dl = 49.2478299991881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40881353-1.40880580) × R
    7.72999999987256e-06 × 6371000     		dr = 49.2478299991881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11660587--2.11655793) × cos(1.40881353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161275363246612 × 6371000     		do = 49.2576471633331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11660587--2.11655793) × cos(1.40880580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161282992051822 × 6371000     		du = 49.2599771968094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40881353)-sin(1.40880580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161275363246612-0.161282992051822)×R²
    abs(-2.11655793--2.11660587)×7.62880520924214e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.62880520924214e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.62880520924214e-06×40589641000000     		ar = 2425.88960827594m²