Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21380 / 12142
↖ ↑ ↗
← N 81.155086°
W121.278076°		 ← 46.96 m → N 81.155086°
W121.275329°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.154663°
W121.278076°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 N 81.154663°
W121.275329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163120269775391 y=0.0926399230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163120269775391 × 217)
    floor (0.163120269775391 × 131072)
    floor (21380.5)     		tx = 21380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926399230957031 × 217)
    floor (0.0926399230957031 × 131072)
    floor (12142.5)     		ty = 12142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21380 / 12142 ti = "17/21380/12142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21380/12142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21380 ÷ 217
    21380 ÷ 131072     		x = 0.163116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12142 ÷ 217
    12142 ÷ 131072     		y = 0.0926361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163116455078125 × 2 - 1) × π
    -0.67376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11670174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0926361083984375 × 2 - 1) × π
    0.814727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55954281831328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11670174} λ = -2.11670174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55954281831328))-π/2
    2×atan(12.9299046484482)-π/2
    2×1.4936098878795-π/2
    2.987219775759-1.57079632675     		φ = 1.41642345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11670174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.278076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41642345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.155086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21380 KachelY 12142 -2.11670174 1.41642345 -121.278076 81.155086
    Oben rechts KachelX + 1 21381 KachelY 12142 -2.11665380 1.41642345 -121.275329 81.155086
    Unten links KachelX 21380 KachelY + 1 12143 -2.11670174 1.41641608 -121.278076 81.154663
    Unten rechts KachelX + 1 21381 KachelY + 1 12143 -2.11665380 1.41641608 -121.275329 81.154663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41642345-1.41641608) × R
    7.36999999984e-06 × 6371000     		dl = 46.9542699989807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41642345-1.41641608) × R
    7.36999999984e-06 × 6371000     		dr = 46.9542699989807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11670174--2.11665380) × cos(1.41642345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		do = 46.9624035048988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11670174--2.11665380) × cos(1.41641608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153767746369228 × 6371000     		du = 46.9646277229231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41642345)-sin(1.41641608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153760464016326-0.153767746369228)×R²
    abs(-2.11665380--2.11670174)×7.28235290284318e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28235290284318e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28235290284318e-06×40589641000000     		ar = 2205.13759220779m²