Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2138 / 6179
↖ ↑ ↗
← N 40.396764°
W133.022461°		 ← 1 860.69 m → N 40.396764°
W133.000488°		 →
↑
1 860.91 m
↓
↑
1 860.91 m
↓
N 40.380029°
W133.022461°		 ← 1 861.15 m →
3 463 000 m²		 N 40.380029°
W133.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130523681640625 y=0.377166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130523681640625 × 214)
    floor (0.130523681640625 × 16384)
    floor (2138.5)     		tx = 2138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377166748046875 × 214)
    floor (0.377166748046875 × 16384)
    floor (6179.5)     		ty = 6179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2138 / 6179 ti = "14/2138/6179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2138/6179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2138 ÷ 214
    2138 ÷ 16384     		x = 0.1304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6179 ÷ 214
    6179 ÷ 16384     		y = 0.37713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32167992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37713623046875 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.771975831481384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32167992} λ = -2.32167992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771975831481384))-π/2
    2×atan(2.16403780648608)-π/2
    2×1.13792643553122-π/2
    2.27585287106245-1.57079632675     		φ = 0.70505654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32167992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70505654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.396764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2138 KachelY 6179 -2.32167992 0.70505654 -133.022461 40.396764
    Oben rechts KachelX + 1 2139 KachelY 6179 -2.32129643 0.70505654 -133.000488 40.396764
    Unten links KachelX 2138 KachelY + 1 6180 -2.32167992 0.70476445 -133.022461 40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 2139 KachelY + 1 6180 -2.32129643 0.70476445 -133.000488 40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70505654-0.70476445) × R
    0.000292089999999967 × 6371000     		dl = 1860.90538999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70505654-0.70476445) × R
    0.000292089999999967 × 6371000     		dr = 1860.90538999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32167992--2.32129643) × cos(0.70505654) × R
    0.000383489999999931 × 0.76157491071201 × 6371000     		do = 1860.69108554418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32167992--2.32129643) × cos(0.70476445) × R
    0.000383489999999931 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 1861.15349885339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70505654)-sin(0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76157491071201-0.761764175000645)×R²
    abs(-2.32129643--2.32167992)×0.000189264288634639×R²
    0.000383489999999931×0.000189264288634639×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189264288634639×40589641000000     		ar = 3463000.34854537m²