Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2138 / 2260
↖ ↑ ↗
← S 18.312811°
E  7.910156°		 ← 9 278.04 m → S 18.312811°
E  7.998047°		 →
↑
9 275.86 m
↓
↑
9 275.86 m
↓
S 18.396230°
E  7.910156°		 ← 9 273.56 m →
86 040 975 m²		 S 18.396230°
E  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5220947265625 y=0.5518798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5220947265625 × 212)
    floor (0.5220947265625 × 4096)
    floor (2138.5)     		tx = 2138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5518798828125 × 212)
    floor (0.5518798828125 × 4096)
    floor (2260.5)     		ty = 2260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2138 / 2260 ti = "12/2138/2260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2138/2260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2138 ÷ 212
    2138 ÷ 4096     		x = 0.52197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2260 ÷ 212
    2260 ÷ 4096     		y = 0.5517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52197265625 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13805827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.325203927022461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13805827} λ = 0.13805827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325203927022461))-π/2
    2×atan(0.722380025812771)-π/2
    2×0.625588741119334-π/2
    1.25117748223867-1.57079632675     		φ = -0.31961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13805827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.312811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2138 KachelY 2260 0.13805827 -0.31961884 7.910156 -18.312811
    Oben rechts KachelX + 1 2139 KachelY 2260 0.13959225 -0.31961884 7.998047 -18.312811
    Unten links KachelX 2138 KachelY + 1 2261 0.13805827 -0.32107479 7.910156 -18.396230
    Unten rechts KachelX + 1 2139 KachelY + 1 2261 0.13959225 -0.32107479 7.998047 -18.396230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31961884--0.32107479) × R
    0.00145594999999998 × 6371000     		dl = 9275.8574499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31961884--0.32107479) × R
    0.00145594999999998 × 6371000     		dr = 9275.8574499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13805827-0.13959225) × cos(-0.31961884) × R
    0.00153397999999999 × 0.949355249315924 × 6371000     		do = 9278.03611121702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13805827-0.13959225) × cos(-0.32107479) × R
    0.00153397999999999 × 0.948896776888081 × 6371000     		du = 9273.55546633241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31961884)-sin(-0.32107479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949355249315924-0.948896776888081)×R²
    abs(0.13959225-0.13805827)×0.000458472427843359×R²
    0.00153397999999999×0.000458472427843359×6371000²
    0.00153397999999999×0.000458472427843359×40589641000000     		ar = 86040974.6710527m²