Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21378 / 11658
↖ ↑ ↗
← N 81.357161°
W121.283569°		 ← 45.89 m → N 81.357161°
W121.280823°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.356748°
W121.283569°		 ← 45.89 m →
2 108 m²		 N 81.356748°
W121.280823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163105010986328 y=0.0889472961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163105010986328 × 217)
    floor (0.163105010986328 × 131072)
    floor (21378.5)     		tx = 21378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889472961425781 × 217)
    floor (0.0889472961425781 × 131072)
    floor (11658.5)     		ty = 11658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21378 / 11658 ti = "17/21378/11658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21378/11658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21378 ÷ 217
    21378 ÷ 131072     		x = 0.163101196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11658 ÷ 217
    11658 ÷ 131072     		y = 0.0889434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163101196289062 × 2 - 1) × π
    -0.673797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11679761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0889434814453125 × 2 - 1) × π
    0.822113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58274427772939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11679761} λ = -2.11679761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58274427772939))-π/2
    2×atan(13.2334045117123)-π/2
    2×1.49537332661738-π/2
    2.99074665323476-1.57079632675     		φ = 1.41995033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11679761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.283569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41995033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.357161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21378 KachelY 11658 -2.11679761 1.41995033 -121.283569 81.357161
    Oben rechts KachelX + 1 21379 KachelY 11658 -2.11674968 1.41995033 -121.280823 81.357161
    Unten links KachelX 21378 KachelY + 1 11659 -2.11679761 1.41994312 -121.283569 81.356748
    Unten rechts KachelX + 1 21379 KachelY + 1 11659 -2.11674968 1.41994312 -121.280823 81.356748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41995033-1.41994312) × R
    7.21000000014627e-06 × 6371000     		dl = 45.9349100009319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41995033-1.41994312) × R
    7.21000000014627e-06 × 6371000     		dr = 45.9349100009319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11679761--2.11674968) × cos(1.41995033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150274576059415 × 6371000     		do = 45.8881496029205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11679761--2.11674968) × cos(1.41994312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150281704180912 × 6371000     		du = 45.8903262605708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41995033)-sin(1.41994312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150274576059415-0.150281704180912)×R²
    abs(-2.11674968--2.11679761)×7.12812149664122e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.12812149664122e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.12812149664122e-06×40589641000000     		ar = 2107.91801442484m²