Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21372 / 11660
↖ ↑ ↗
← N 81.356335°
W121.300049°		 ← 45.89 m → N 81.356335°
W121.297302°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.355922°
W121.300049°		 ← 45.89 m →
2 108 m²		 N 81.355922°
W121.297302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163059234619141 y=0.0889625549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163059234619141 × 217)
    floor (0.163059234619141 × 131072)
    floor (21372.5)     		tx = 21372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889625549316406 × 217)
    floor (0.0889625549316406 × 131072)
    floor (11660.5)     		ty = 11660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21372 / 11660 ti = "17/21372/11660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21372/11660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21372 ÷ 217
    21372 ÷ 131072     		x = 0.163055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11660 ÷ 217
    11660 ÷ 131072     		y = 0.088958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.67388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11708523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088958740234375 × 2 - 1) × π
    0.82208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58264840393015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11708523} λ = -2.11708523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58264840393015))-π/2
    2×atan(13.2321358357623)-π/2
    2×1.49536612257853-π/2
    2.99073224515706-1.57079632675     		φ = 1.41993592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11708523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.300049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41993592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.356335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21372 KachelY 11660 -2.11708523 1.41993592 -121.300049 81.356335
    Oben rechts KachelX + 1 21373 KachelY 11660 -2.11703730 1.41993592 -121.297302 81.356335
    Unten links KachelX 21372 KachelY + 1 11661 -2.11708523 1.41992871 -121.300049 81.355922
    Unten rechts KachelX + 1 21373 KachelY + 1 11661 -2.11703730 1.41992871 -121.297302 81.355922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41993592-1.41992871) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41993592-1.41992871) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11708523--2.11703730) × cos(1.41993592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150288822408175 × 6371000     		do = 45.8924998968978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11708523--2.11703730) × cos(1.41992871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150295950514057 × 6371000     		du = 45.8946765497801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41993592)-sin(1.41992871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150288822408175-0.150295950514057)×R²
    abs(-2.11703730--2.11708523)×7.12810588238133e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.12810588238133e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.12810588238133e-06×40589641000000     		ar = 2108.11784456018m²