Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21366 / 12151
↖ ↑ ↗
← N 81.151284°
W121.316529°		 ← 46.98 m → N 81.151284°
W121.313782°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.150861°
W121.316529°		 ← 46.98 m →
2 209 m²		 N 81.150861°
W121.313782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163013458251953 y=0.0927085876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163013458251953 × 217)
    floor (0.163013458251953 × 131072)
    floor (21366.5)     		tx = 21366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927085876464844 × 217)
    floor (0.0927085876464844 × 131072)
    floor (12151.5)     		ty = 12151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21366 / 12151 ti = "17/21366/12151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21366/12151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21366 ÷ 217
    21366 ÷ 131072     		x = 0.163009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12151 ÷ 217
    12151 ÷ 131072     		y = 0.0927047729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163009643554688 × 2 - 1) × π
    -0.673980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11737286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927047729492188 × 2 - 1) × π
    0.814590454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.5591113862167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11737286} λ = -2.11737286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5591113862167))-π/2
    2×atan(12.9243274757493)-π/2
    2×1.49357671220871-π/2
    2.98715342441741-1.57079632675     		φ = 1.41635710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11737286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.316529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41635710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.151284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21366 KachelY 12151 -2.11737286 1.41635710 -121.316529 81.151284
    Oben rechts KachelX + 1 21367 KachelY 12151 -2.11732492 1.41635710 -121.313782 81.151284
    Unten links KachelX 21366 KachelY + 1 12152 -2.11737286 1.41634972 -121.316529 81.150861
    Unten rechts KachelX + 1 21367 KachelY + 1 12152 -2.11732492 1.41634972 -121.313782 81.150861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41635710-1.41634972) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41635710-1.41634972) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11737286--2.11732492) × cos(1.41635710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1538260246537 × 6371000     		do = 46.9824274110837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11737286--2.11732492) × cos(1.41634972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153833316812364 × 6371000     		du = 46.98465462404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41635710)-sin(1.41634972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1538260246537-0.153833316812364)×R²
    abs(-2.11732492--2.11737286)×7.29215866451804e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.29215866451804e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.29215866451804e-06×40589641000000     		ar = 2209.07119202099m²