Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21364 / 11644
↖ ↑ ↗
← N 81.362937°
W121.322021°		 ← 45.87 m → N 81.362937°
W121.319275°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.362525°
W121.322021°		 ← 45.87 m →
2 101 m²		 N 81.362525°
W121.319275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162998199462891 y=0.0888404846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162998199462891 × 217)
    floor (0.162998199462891 × 131072)
    floor (21364.5)     		tx = 21364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888404846191406 × 217)
    floor (0.0888404846191406 × 131072)
    floor (11644.5)     		ty = 11644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21364 / 11644 ti = "17/21364/11644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21364/11644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21364 ÷ 217
    21364 ÷ 131072     		x = 0.162994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11644 ÷ 217
    11644 ÷ 131072     		y = 0.088836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.67401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11746873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088836669921875 × 2 - 1) × π
    0.82232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58341539432407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11746873} λ = -2.11746873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58341539432407))-π/2
    2×atan(13.2422886498971)-π/2
    2×1.49542373577437-π/2
    2.99084747154875-1.57079632675     		φ = 1.42005114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11746873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.322021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42005114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.362937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21364 KachelY 11644 -2.11746873 1.42005114 -121.322021 81.362937
    Oben rechts KachelX + 1 21365 KachelY 11644 -2.11742079 1.42005114 -121.319275 81.362937
    Unten links KachelX 21364 KachelY + 1 11645 -2.11746873 1.42004395 -121.322021 81.362525
    Unten rechts KachelX + 1 21365 KachelY + 1 11645 -2.11742079 1.42004395 -121.319275 81.362525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42005114-1.42004395) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42005114-1.42004395) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11746873--2.11742079) × cos(1.42005114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150174910064113 × 6371000     		do = 45.8672830357352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11746873--2.11742079) × cos(1.42004395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150182018521635 × 6371000     		du = 45.8694541416339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42005114)-sin(1.42004395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150174910064113-0.150182018521635)×R²
    abs(-2.11742079--2.11746873)×7.10845752124878e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10845752124878e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10845752124878e-06×40589641000000     		ar = 2101.1148353532m²