Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21363 / 11614
↖ ↑ ↗
← N 81.375303°
W121.324768°		 ← 45.80 m → N 81.375303°
W121.322021°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.374891°
W121.324768°		 ← 45.80 m →
2 098 m²		 N 81.374891°
W121.322021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162990570068359 y=0.0886116027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162990570068359 × 217)
    floor (0.162990570068359 × 131072)
    floor (21363.5)     		tx = 21363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886116027832031 × 217)
    floor (0.0886116027832031 × 131072)
    floor (11614.5)     		ty = 11614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21363 / 11614 ti = "17/21363/11614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21363/11614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21363 ÷ 217
    21363 ÷ 131072     		x = 0.162986755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11614 ÷ 217
    11614 ÷ 131072     		y = 0.0886077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162986755371094 × 2 - 1) × π
    -0.674026489257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.11751667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0886077880859375 × 2 - 1) × π
    0.822784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58485350131267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11751667} λ = -2.11751667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58485350131267))-π/2
    2×atan(13.2613461778472)-π/2
    2×1.49553164283479-π/2
    2.99106328566958-1.57079632675     		φ = 1.42026696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11751667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.324768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42026696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.375303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21363 KachelY 11614 -2.11751667 1.42026696 -121.324768 81.375303
    Oben rechts KachelX + 1 21364 KachelY 11614 -2.11746873 1.42026696 -121.322021 81.375303
    Unten links KachelX 21363 KachelY + 1 11615 -2.11751667 1.42025977 -121.324768 81.374891
    Unten rechts KachelX + 1 21364 KachelY + 1 11615 -2.11746873 1.42025977 -121.322021 81.374891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42026696-1.42025977) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42026696-1.42025977) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11751667--2.11746873) × cos(1.42026696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149961534087102 × 6371000     		do = 45.8021125200584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11751667--2.11746873) × cos(1.42025977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149968642777497 × 6371000     		du = 45.8042836970826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42026696)-sin(1.42025977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149961534087102-0.149968642777497)×R²
    abs(-2.11746873--2.11751667)×7.10869039449724e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10869039449724e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10869039449724e-06×40589641000000     		ar = 2098.12953920165m²