Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21360 / 38000
↖ ↑ ↗
← N 60.086763°
W121.333008°		 ← 152.31 m → N 60.086763°
W121.330261°		 →
↑
152.33 m
↓
↑
152.33 m
↓
N 60.085393°
W121.333008°		 ← 152.32 m →
23 202 m²		 N 60.085393°
W121.330261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162967681884766 y=0.289920806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162967681884766 × 217)
    floor (0.162967681884766 × 131072)
    floor (21360.5)     		tx = 21360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289920806884766 × 217)
    floor (0.289920806884766 × 131072)
    floor (38000.5)     		ty = 38000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21360 / 38000 ti = "17/21360/38000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21360/38000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21360 ÷ 217
    21360 ÷ 131072     		x = 0.1629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38000 ÷ 217
    38000 ÷ 131072     		y = 0.2899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11766048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2899169921875 × 2 - 1) × π
    0.420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31999046793787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11766048} λ = -2.11766048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31999046793787))-π/2
    2×atan(3.74338569490577)-π/2
    2×1.3097540867815-π/2
    2.61950817356299-1.57079632675     		φ = 1.04871185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11766048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04871185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.086763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21360 KachelY 38000 -2.11766048 1.04871185 -121.333008 60.086763
    Oben rechts KachelX + 1 21361 KachelY 38000 -2.11761254 1.04871185 -121.330261 60.086763
    Unten links KachelX 21360 KachelY + 1 38001 -2.11766048 1.04868794 -121.333008 60.085393
    Unten rechts KachelX + 1 21361 KachelY + 1 38001 -2.11761254 1.04868794 -121.330261 60.085393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04871185-1.04868794) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dl = 152.330609999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04871185-1.04868794) × R
    2.39099999999048e-05 × 6371000     		dr = 152.330609999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11766048--2.11761254) × cos(1.04871185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.49868800599343 × 6371000     		do = 152.312153259568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11766048--2.11761254) × cos(1.04868794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.498708730597979 × 6371000     		du = 152.318483087249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04871185)-sin(1.04868794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49868800599343-0.498708730597979)×R²
    abs(-2.11761254--2.11766048)×2.07246045494935e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07246045494935e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07246045494935e-05×40589641000000     		ar = 23202.2853306339m²