Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2136 / 1337
↖ ↑ ↗
← N 76.258259°
W 86.132812°		 ← 1 160.77 m → N 76.258259°
W 86.088867°		 →
↑
1 161.18 m
↓
↑
1 161.18 m
↓
N 76.247817°
W 86.132812°		 ← 1 161.63 m →
1 348 359 m²		 N 76.247817°
W 86.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26080322265625 y=0.16326904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26080322265625 × 213)
    floor (0.26080322265625 × 8192)
    floor (2136.5)     		tx = 2136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16326904296875 × 213)
    floor (0.16326904296875 × 8192)
    floor (1337.5)     		ty = 1337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2136 / 1337 ti = "13/2136/1337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2136/1337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2136 ÷ 213
    2136 ÷ 8192     		x = 0.2607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1337 ÷ 213
    1337 ÷ 8192     		y = 0.1632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50330117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1632080078125 × 2 - 1) × π
    0.673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11612649682776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50330117} λ = -1.50330117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11612649682776))-π/2
    2×atan(8.29892921988564)-π/2
    2×1.45087701854683-π/2
    2.90175403709366-1.57079632675     		φ = 1.33095771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50330117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.132812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33095771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.258259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2136 KachelY 1337 -1.50330117 1.33095771 -86.132812 76.258259
    Oben rechts KachelX + 1 2137 KachelY 1337 -1.50253418 1.33095771 -86.088867 76.258259
    Unten links KachelX 2136 KachelY + 1 1338 -1.50330117 1.33077545 -86.132812 76.247817
    Unten rechts KachelX + 1 2137 KachelY + 1 1338 -1.50253418 1.33077545 -86.088867 76.247817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33095771-1.33077545) × R
    0.000182260000000101 × 6371000     		dl = 1161.17846000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33095771-1.33077545) × R
    0.000182260000000101 × 6371000     		dr = 1161.17846000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50330117--1.50253418) × cos(1.33095771) × R
    0.000766990000000023 × 0.237545865696767 × 6371000     		do = 1160.76627879453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50330117--1.50253418) × cos(1.33077545) × R
    0.000766990000000023 × 0.237722904799009 × 6371000     		du = 1161.6313791797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33095771)-sin(1.33077545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237545865696767-0.237722904799009)×R²
    abs(-1.50253418--1.50330117)×0.000177039102242121×R²
    0.000766990000000023×0.000177039102242121×6371000²
    0.000766990000000023×0.000177039102242121×40589641000000     		ar = 1348359.07173189m²