Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21358 / 11646
↖ ↑ ↗
← N 81.362113°
W121.338501°		 ← 45.87 m → N 81.362113°
W121.335754°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
N 81.361700°
W121.338501°		 ← 45.87 m →
2 104 m²		 N 81.361700°
W121.335754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162952423095703 y=0.0888557434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162952423095703 × 217)
    floor (0.162952423095703 × 131072)
    floor (21358.5)     		tx = 21358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888557434082031 × 217)
    floor (0.0888557434082031 × 131072)
    floor (11646.5)     		ty = 11646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21358 / 11646 ti = "17/21358/11646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21358/11646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21358 ÷ 217
    21358 ÷ 131072     		x = 0.162948608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11646 ÷ 217
    11646 ÷ 131072     		y = 0.0888519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162948608398438 × 2 - 1) × π
    -0.674102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11775635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888519287109375 × 2 - 1) × π
    0.822296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58331952052483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11775635} λ = -2.11775635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58331952052483))-π/2
    2×atan(13.2410191222318)-π/2
    2×1.49541653651382-π/2
    2.99083307302764-1.57079632675     		φ = 1.42003675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11775635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.338501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42003675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.362113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21358 KachelY 11646 -2.11775635 1.42003675 -121.338501 81.362113
    Oben rechts KachelX + 1 21359 KachelY 11646 -2.11770841 1.42003675 -121.335754 81.362113
    Unten links KachelX 21358 KachelY + 1 11647 -2.11775635 1.42002955 -121.338501 81.361700
    Unten rechts KachelX + 1 21359 KachelY + 1 11647 -2.11770841 1.42002955 -121.335754 81.361700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42003675-1.42002955) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42003675-1.42002955) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11775635--2.11770841) × cos(1.42003675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150189136857965 × 6371000     		do = 45.8716282647751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11775635--2.11770841) × cos(1.42002955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150196255186509 × 6371000     		du = 45.8738023855383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42003675)-sin(1.42002955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150189136857965-0.150196255186509)×R²
    abs(-2.11770841--2.11775635)×7.11832854438654e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11832854438654e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11832854438654e-06×40589641000000     		ar = 2104.23649929051m²