Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21356 / 11652
↖ ↑ ↗
← N 81.359637°
W121.343994°		 ← 45.88 m → N 81.359637°
W121.341248°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
N 81.359224°
W121.343994°		 ← 45.89 m →
2 105 m²		 N 81.359224°
W121.341248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162937164306641 y=0.0889015197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162937164306641 × 217)
    floor (0.162937164306641 × 131072)
    floor (21356.5)     		tx = 21356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889015197753906 × 217)
    floor (0.0889015197753906 × 131072)
    floor (11652.5)     		ty = 11652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21356 / 11652 ti = "17/21356/11652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21356/11652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21356 ÷ 217
    21356 ÷ 131072     		x = 0.162933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11652 ÷ 217
    11652 ÷ 131072     		y = 0.088897705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.67413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11785223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088897705078125 × 2 - 1) × π
    0.82220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58303189912711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11785223} λ = -2.11785223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58303189912711))-π/2
    2×atan(13.2372112694408)-π/2
    2×1.49539493463736-π/2
    2.99078986927472-1.57079632675     		φ = 1.41999354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11785223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.343994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41999354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.359637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21356 KachelY 11652 -2.11785223 1.41999354 -121.343994 81.359637
    Oben rechts KachelX + 1 21357 KachelY 11652 -2.11780429 1.41999354 -121.341248 81.359637
    Unten links KachelX 21356 KachelY + 1 11653 -2.11785223 1.41998634 -121.343994 81.359224
    Unten rechts KachelX + 1 21357 KachelY + 1 11653 -2.11780429 1.41998634 -121.341248 81.359224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41999354-1.41998634) × R
    7.20000000020704e-06 × 6371000     		dl = 45.8712000013191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41999354-1.41998634) × R
    7.20000000020704e-06 × 6371000     		dr = 45.8712000013191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11785223--2.11780429) × cos(1.41999354) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150231856598939 × 6371000     		do = 45.8846759732748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11785223--2.11780429) × cos(1.41998634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15023897488075 × 6371000     		du = 45.8868500797645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41999354)-sin(1.41998634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150231856598939-0.15023897488075)×R²
    abs(-2.11780429--2.11785223)×7.11828181124141e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11828181124141e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11828181124141e-06×40589641000000     		ar = 2104.83501299589m²