Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21353 / 24363
↖ ↑ ↗
← S 65.563005°
E 54.591065°		 ← 505.36 m → S 65.563005°
E 54.602051°		 →
↑
505.28 m
↓
↑
505.28 m
↓
S 65.567549°
E 54.591065°		 ← 505.27 m →
255 326 m²		 S 65.567549°
E 54.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651657104492188 y=0.743515014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651657104492188 × 215)
    floor (0.651657104492188 × 32768)
    floor (21353.5)     		tx = 21353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743515014648438 × 215)
    floor (0.743515014648438 × 32768)
    floor (24363.5)     		ty = 24363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21353 / 24363 ti = "15/21353/24363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21353/24363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21353 ÷ 215
    21353 ÷ 32768     		x = 0.651641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24363 ÷ 215
    24363 ÷ 32768     		y = 0.743499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651641845703125 × 2 - 1) × π
    0.30328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95279382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.48699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52995408827371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95279382} λ = 0.95279382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52995408827371))-π/2
    2×atan(0.216545609070516)-π/2
    2×0.213253009818888-π/2
    0.426506019637777-1.57079632675     		φ = -1.14429031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95279382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.591065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14429031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.563005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21353 KachelY 24363 0.95279382 -1.14429031 54.591065 -65.563005
    Oben rechts KachelX + 1 21354 KachelY 24363 0.95298556 -1.14429031 54.602051 -65.563005
    Unten links KachelX 21353 KachelY + 1 24364 0.95279382 -1.14436962 54.591065 -65.567549
    Unten rechts KachelX + 1 21354 KachelY + 1 24364 0.95298556 -1.14436962 54.602051 -65.567549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14429031--1.14436962) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dl = 505.284010000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14429031--1.14436962) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dr = 505.284010000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95279382-0.95298556) × cos(-1.14429031) × R
    0.000191739999999996 × 0.413692353267875 × 6371000     		do = 505.356459837065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95279382-0.95298556) × cos(-1.14436962) × R
    0.000191739999999996 × 0.413620146815381 × 6371000     		du = 505.268254200868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14429031)-sin(-1.14436962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413692353267875-0.413620146815381)×R²
    abs(0.95298556-0.95279382)×7.22064524940613e-05×R²
    0.000191739999999996×7.22064524940613e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.22064524940613e-05×40589641000000     		ar = 255326.254190834m²