Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21353 / 13237
↖ ↑ ↗
← N 80.680453°
W121.352234°		 ← 49.46 m → N 80.680453°
W121.349487°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.680008°
W121.352234°		 ← 49.46 m →
2 445 m²		 N 80.680008°
W121.349487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162914276123047 y=0.100994110107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162914276123047 × 217)
    floor (0.162914276123047 × 131072)
    floor (21353.5)     		tx = 21353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100994110107422 × 217)
    floor (0.100994110107422 × 131072)
    floor (13237.5)     		ty = 13237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21353 / 13237 ti = "17/21353/13237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21353/13237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21353 ÷ 217
    21353 ÷ 131072     		x = 0.162910461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13237 ÷ 217
    13237 ÷ 131072     		y = 0.100990295410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162910461425781 × 2 - 1) × π
    -0.674179077148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.11799604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100990295410156 × 2 - 1) × π
    0.798019409179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.50705191322932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11799604} λ = -2.11799604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50705191322932))-π/2
    2×atan(12.2687074788765)-π/2
    2×1.48946793423535-π/2
    2.9789358684707-1.57079632675     		φ = 1.40813954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11799604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.352234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40813954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.680453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21353 KachelY 13237 -2.11799604 1.40813954 -121.352234 80.680453
    Oben rechts KachelX + 1 21354 KachelY 13237 -2.11794810 1.40813954 -121.349487 80.680453
    Unten links KachelX 21353 KachelY + 1 13238 -2.11799604 1.40813178 -121.352234 80.680008
    Unten rechts KachelX + 1 21354 KachelY + 1 13238 -2.11794810 1.40813178 -121.349487 80.680008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40813954-1.40813178) × R
    7.76000000013433e-06 × 6371000     		dl = 49.4389600008558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40813954-1.40813178) × R
    7.76000000013433e-06 × 6371000     		dr = 49.4389600008558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11799604--2.11794810) × cos(1.40813954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161940493663976 × 6371000     		do = 49.4607951132528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11799604--2.11794810) × cos(1.40813178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161948151231176 × 6371000     		du = 49.4631339313814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40813954)-sin(1.40813178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161940493663976-0.161948151231176)×R²
    abs(-2.11794810--2.11799604)×7.65756719967037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65756719967037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65756719967037e-06×40589641000000     		ar = 2445.34808546151m²