Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2135 / 1592
↖ ↑ ↗
← N 80.900668°
W133.088379°		 ← 386.40 m → N 80.900668°
W133.066406°		 →
↑
386.46 m
↓
↑
386.46 m
↓
N 80.897193°
W133.088379°		 ← 386.54 m →
149 357 m²		 N 80.897193°
W133.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130340576171875 y=0.097198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130340576171875 × 214)
    floor (0.130340576171875 × 16384)
    floor (2135.5)     		tx = 2135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097198486328125 × 214)
    floor (0.097198486328125 × 16384)
    floor (1592.5)     		ty = 1592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2135 / 1592 ti = "14/2135/1592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2135/1592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2135 ÷ 214
    2135 ÷ 16384     		x = 0.13031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1592 ÷ 214
    1592 ÷ 16384     		y = 0.09716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.7393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32283041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09716796875 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32283041} λ = -2.32283041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53106829993897))-π/2
    2×atan(12.5669242124965)-π/2
    2×1.49138968011671-π/2
    2.98277936023343-1.57079632675     		φ = 1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32283041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2135 KachelY 1592 -2.32283041 1.41198303 -133.088379 80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 2136 KachelY 1592 -2.32244691 1.41198303 -133.066406 80.900668
    Unten links KachelX 2135 KachelY + 1 1593 -2.32283041 1.41192237 -133.088379 80.897193
    Unten rechts KachelX + 1 2136 KachelY + 1 1593 -2.32244691 1.41192237 -133.066406 80.897193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41198303-1.41192237) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dl = 386.464859999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41198303-1.41192237) × R
    6.06599999999347e-05 × 6371000     		dr = 386.464859999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32283041--2.32244691) × cos(1.41198303) × R
    0.00038349999999987 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 386.396062841915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32283041--2.32244691) × cos(1.41192237) × R
    0.00038349999999987 × 0.158206445269229 × 6371000     		du = 386.542406287602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41198303)-sin(1.41192237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.158206445269229)×R²
    abs(-2.32244691--2.32283041)×5.98963424295884e-05×R²
    0.00038349999999987×5.98963424295884e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.98963424295884e-05×40589641000000     		ar = 149356.778676346m²