Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21346 / 24225
↖ ↑ ↗
← S 64.928198°
E 54.514160°		 ← 517.67 m → S 64.928198°
E 54.525146°		 →
↑
517.58 m
↓
↑
517.58 m
↓
S 64.932853°
E 54.514160°		 ← 517.58 m →
267 915 m²		 S 64.932853°
E 54.525146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651443481445312 y=0.739303588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651443481445312 × 215)
    floor (0.651443481445312 × 32768)
    floor (21346.5)     		tx = 21346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739303588867188 × 215)
    floor (0.739303588867188 × 32768)
    floor (24225.5)     		ty = 24225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21346 / 24225 ti = "15/21346/24225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21346/24225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21346 ÷ 215
    21346 ÷ 32768     		x = 0.65142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24225 ÷ 215
    24225 ÷ 32768     		y = 0.739288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65142822265625 × 2 - 1) × π
    0.3028564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95145158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.47857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50349291968344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95145158} λ = 0.95145158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50349291968344))-π/2
    2×atan(0.222352143985078)-π/2
    2×0.218792750264643-π/2
    0.437585500529287-1.57079632675     		φ = -1.13321083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95145158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.514160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13321083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.928198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21346 KachelY 24225 0.95145158 -1.13321083 54.514160 -64.928198
    Oben rechts KachelX + 1 21347 KachelY 24225 0.95164333 -1.13321083 54.525146 -64.928198
    Unten links KachelX 21346 KachelY + 1 24226 0.95145158 -1.13329207 54.514160 -64.932853
    Unten rechts KachelX + 1 21347 KachelY + 1 24226 0.95164333 -1.13329207 54.525146 -64.932853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13321083--1.13329207) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dl = 517.580040000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13321083--1.13329207) × R
    8.12400000000935e-05 × 6371000     		dr = 517.580040000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95145158-0.95164333) × cos(-1.13321083) × R
    0.000191750000000046 × 0.423753699822077 × 6371000     		do = 517.674152035491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95145158-0.95164333) × cos(-1.13329207) × R
    0.000191750000000046 × 0.423680113063164 × 6371000     		du = 517.584255562524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13321083)-sin(-1.13329207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423753699822077-0.423680113063164)×R²
    abs(0.95164333-0.95145158)×7.35867589122807e-05×R²
    0.000191750000000046×7.35867589122807e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.35867589122807e-05×40589641000000     		ar = 267914.544155767m²