Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21343 / 13087
↖ ↑ ↗
← N 80.746934°
W121.379699°		 ← 49.10 m → N 80.746934°
W121.376953°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.746492°
W121.379699°		 ← 49.10 m →
2 412 m²		 N 80.746492°
W121.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162837982177734 y=0.0998497009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162837982177734 × 217)
    floor (0.162837982177734 × 131072)
    floor (21343.5)     		tx = 21343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998497009277344 × 217)
    floor (0.0998497009277344 × 131072)
    floor (13087.5)     		ty = 13087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21343 / 13087 ti = "17/21343/13087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21343/13087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21343 ÷ 217
    21343 ÷ 131072     		x = 0.162834167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13087 ÷ 217
    13087 ÷ 131072     		y = 0.0998458862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162834167480469 × 2 - 1) × π
    -0.674331665039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.11847540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998458862304688 × 2 - 1) × π
    0.800308227539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.51424244817233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11847540} λ = -2.11847540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51424244817233))-π/2
    2×atan(12.3572439796378)-π/2
    2×1.4900480927603-π/2
    2.98009618552059-1.57079632675     		φ = 1.40929986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11847540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.379699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40929986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.746934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21343 KachelY 13087 -2.11847540 1.40929986 -121.379699 80.746934
    Oben rechts KachelX + 1 21344 KachelY 13087 -2.11842747 1.40929986 -121.376953 80.746934
    Unten links KachelX 21343 KachelY + 1 13088 -2.11847540 1.40929215 -121.379699 80.746492
    Unten rechts KachelX + 1 21344 KachelY + 1 13088 -2.11842747 1.40929215 -121.376953 80.746492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40929986-1.40929215) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40929986-1.40929215) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11847540--2.11842747) × cos(1.40929986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160795380521845 × 6371000     		do = 49.1008038108032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11847540--2.11842747) × cos(1.40929215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160802990192724 × 6371000     		du = 49.1031275153503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40929986)-sin(1.40929215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160795380521845-0.160802990192724)×R²
    abs(-2.11842747--2.11847540)×7.60967087851117e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60967087851117e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60967087851117e-06×40589641000000     		ar = 2411.90868531104m²