Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2134 / 2170
↖ ↑ ↗
← S 10.660608°
E  7.558594°		 ← 9 604.31 m → S 10.660608°
E  7.646484°		 →
↑
9 602.94 m
↓
↑
9 602.94 m
↓
S 10.746969°
E  7.558594°		 ← 9 601.57 m →
92 216 508 m²		 S 10.746969°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5211181640625 y=0.5299072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5211181640625 × 212)
    floor (0.5211181640625 × 4096)
    floor (2134.5)     		tx = 2134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5299072265625 × 212)
    floor (0.5299072265625 × 4096)
    floor (2170.5)     		ty = 2170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2134 / 2170 ti = "12/2134/2170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2134/2170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2134 ÷ 212
    2134 ÷ 4096     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2170 ÷ 212
    2170 ÷ 4096     		y = 0.52978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187145656116699))-π/2
    2×atan(0.829322931629931)-π/2
    2×0.692366808872553-π/2
    1.38473361774511-1.57079632675     		φ = -0.18606271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18606271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.660608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2134 KachelY 2170 0.13192235 -0.18606271 7.558594 -10.660608
    Oben rechts KachelX + 1 2135 KachelY 2170 0.13345633 -0.18606271 7.646484 -10.660608
    Unten links KachelX 2134 KachelY + 1 2171 0.13192235 -0.18757000 7.558594 -10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 2135 KachelY + 1 2171 0.13345633 -0.18757000 7.646484 -10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18606271--0.18757000) × R
    0.00150728999999999 × 6371000     		dl = 9602.94458999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18606271--0.18757000) × R
    0.00150728999999999 × 6371000     		dr = 9602.94458999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.18606271) × R
    0.00153398000000002 × 0.982740213805655 × 6371000     		do = 9604.30692114911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.18757000) × R
    0.00153398000000002 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 9601.57096043852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18606271)-sin(-0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982740213805655-0.982460262463433)×R²
    abs(0.13345633-0.13192235)×0.00027995134222214×R²
    0.00153398000000002×0.00027995134222214×6371000²
    0.00153398000000002×0.00027995134222214×40589641000000     		ar = 92216508.0086637m²