Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2134 / 2167
↖ ↑ ↗
← S 10.401378°
E  7.558594°		 ← 9 612.39 m → S 10.401378°
E  7.646484°		 →
↑
9 611.04 m
↓
↑
9 611.04 m
↓
S 10.487812°
E  7.558594°		 ← 9 609.72 m →
92 372 182 m²		 S 10.487812°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5211181640625 y=0.5291748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5211181640625 × 212)
    floor (0.5211181640625 × 4096)
    floor (2134.5)     		tx = 2134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5291748046875 × 212)
    floor (0.5291748046875 × 4096)
    floor (2167.5)     		ty = 2167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2134 / 2167 ti = "12/2134/2167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2134/2167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2134 ÷ 212
    2134 ÷ 4096     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2167 ÷ 212
    2167 ÷ 4096     		y = 0.529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182543713753174))-π/2
    2×atan(0.833148223096509)-π/2
    2×0.694629020865104-π/2
    1.38925804173021-1.57079632675     		φ = -0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2134 KachelY 2167 0.13192235 -0.18153829 7.558594 -10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 2135 KachelY 2167 0.13345633 -0.18153829 7.646484 -10.401378
    Unten links KachelX 2134 KachelY + 1 2168 0.13192235 -0.18304685 7.558594 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 2135 KachelY + 1 2168 0.13345633 -0.18304685 7.646484 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18153829--0.18304685) × R
    0.00150856000000002 × 6371000     		dl = 9611.03576000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18153829--0.18304685) × R
    0.00150856000000002 × 6371000     		dr = 9611.03576000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.18153829) × R
    0.00153398000000002 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 9612.38835656615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.18304685) × R
    0.00153398000000002 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 9609.71565272743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18153829)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.983293650724252)×R²
    abs(0.13345633-0.13192235)×0.000273478717773057×R²
    0.00153398000000002×0.000273478717773057×6371000²
    0.00153398000000002×0.000273478717773057×40589641000000     		ar = 92372182.0259055m²