Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2134 / 2146
↖ ↑ ↗
← S  8.581021°
E  7.558594°		 ← 9 663.59 m → S  8.581021°
E  7.646484°		 →
↑
9 662.51 m
↓
↑
9 662.51 m
↓
S  8.667918°
E  7.558594°		 ← 9 661.36 m →
93 363 813 m²		 S  8.667918°
E  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5211181640625 y=0.5240478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5211181640625 × 212)
    floor (0.5211181640625 × 4096)
    floor (2134.5)     		tx = 2134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5240478515625 × 212)
    floor (0.5240478515625 × 4096)
    floor (2146.5)     		ty = 2146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2134 / 2146 ti = "12/2134/2146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2134/2146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2134 ÷ 212
    2134 ÷ 4096     		x = 0.52099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2146 ÷ 212
    2146 ÷ 4096     		y = 0.52392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52099609375 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13192235} λ = 0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150330117208496))-π/2
    2×atan(0.860423888804236)-π/2
    2×0.710514626701354-π/2
    1.42102925340271-1.57079632675     		φ = -0.14976707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14976707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.581021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2134 KachelY 2146 0.13192235 -0.14976707 7.558594 -8.581021
    Oben rechts KachelX + 1 2135 KachelY 2146 0.13345633 -0.14976707 7.646484 -8.581021
    Unten links KachelX 2134 KachelY + 1 2147 0.13192235 -0.15128371 7.558594 -8.667918
    Unten rechts KachelX + 1 2135 KachelY + 1 2147 0.13345633 -0.15128371 7.646484 -8.667918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14976707--0.15128371) × R
    0.00151663999999999 × 6371000     		dl = 9662.51343999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14976707--0.15128371) × R
    0.00151663999999999 × 6371000     		dr = 9662.51343999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.14976707) × R
    0.00153398000000002 × 0.988805859736353 × 6371000     		do = 9663.58639742885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13192235-0.13345633) × cos(-0.15128371) × R
    0.00153398000000002 × 0.988578428060257 × 6371000     		du = 9661.3637107105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14976707)-sin(-0.15128371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988805859736353-0.988578428060257)×R²
    abs(0.13345633-0.13192235)×0.000227431676096068×R²
    0.00153398000000002×0.000227431676096068×6371000²
    0.00153398000000002×0.000227431676096068×40589641000000     		ar = 93363812.9698749m²