Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21339 / 24235
↖ ↑ ↗
← S 64.974712°
E 54.437256°		 ← 516.78 m → S 64.974712°
E 54.448242°		 →
↑
516.69 m
↓
↑
516.69 m
↓
S 64.979359°
E 54.437256°		 ← 516.69 m →
266 989 m²		 S 64.979359°
E 54.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651229858398438 y=0.739608764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651229858398438 × 215)
    floor (0.651229858398438 × 32768)
    floor (21339.5)     		tx = 21339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739608764648438 × 215)
    floor (0.739608764648438 × 32768)
    floor (24235.5)     		ty = 24235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21339 / 24235 ti = "15/21339/24235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21339/24235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21339 ÷ 215
    21339 ÷ 32768     		x = 0.651214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24235 ÷ 215
    24235 ÷ 32768     		y = 0.739593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651214599609375 × 2 - 1) × π
    0.30242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95010935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.47918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50541039566824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95010935} λ = 0.95010935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50541039566824))-π/2
    2×atan(0.221926197590316)-π/2
    2×0.218386834135533-π/2
    0.436773668271067-1.57079632675     		φ = -1.13402266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95010935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13402266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.974712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21339 KachelY 24235 0.95010935 -1.13402266 54.437256 -64.974712
    Oben rechts KachelX + 1 21340 KachelY 24235 0.95030110 -1.13402266 54.448242 -64.974712
    Unten links KachelX 21339 KachelY + 1 24236 0.95010935 -1.13410376 54.437256 -64.979359
    Unten rechts KachelX + 1 21340 KachelY + 1 24236 0.95030110 -1.13410376 54.448242 -64.979359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13402266--1.13410376) × R
    8.10999999998341e-05 × 6371000     		dl = 516.688099998943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13402266--1.13410376) × R
    8.10999999998341e-05 × 6371000     		dr = 516.688099998943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95010935-0.95030110) × cos(-1.13402266) × R
    0.000191750000000046 × 0.423018222948575 × 6371000     		do = 516.775664619354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95010935-0.95030110) × cos(-1.13410376) × R
    0.000191750000000046 × 0.422944735130256 × 6371000     		du = 516.685889016099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13402266)-sin(-1.13410376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423018222948575-0.422944735130256)×R²
    abs(0.95030110-0.95010935)×7.34878183189513e-05×R²
    0.000191750000000046×7.34878183189513e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.34878183189513e-05×40589641000000     		ar = 266988.643430733m²