Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21332 / 24184
↖ ↑ ↗
← S 64.736641°
E 54.360352°		 ← 521.34 m → S 64.736641°
E 54.371338°		 →
↑
521.34 m
↓
↑
521.34 m
↓
S 64.741330°
E 54.360352°		 ← 521.25 m →
271 773 m²		 S 64.741330°
E 54.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651016235351562 y=0.738052368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651016235351562 × 215)
    floor (0.651016235351562 × 32768)
    floor (21332.5)     		tx = 21332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738052368164062 × 215)
    floor (0.738052368164062 × 32768)
    floor (24184.5)     		ty = 24184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21332 / 24184 ti = "15/21332/24184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21332/24184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21332 ÷ 215
    21332 ÷ 32768     		x = 0.6510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24184 ÷ 215
    24184 ÷ 32768     		y = 0.738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6510009765625 × 2 - 1) × π
    0.302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94876712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.47607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94876712} λ = 0.94876712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49563126814575))-π/2
    2×atan(0.224107088401714)-π/2
    2×0.220464393888734-π/2
    0.440928787777468-1.57079632675     		φ = -1.12986754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94876712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.360352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12986754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.736641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21332 KachelY 24184 0.94876712 -1.12986754 54.360352 -64.736641
    Oben rechts KachelX + 1 21333 KachelY 24184 0.94895886 -1.12986754 54.371338 -64.736641
    Unten links KachelX 21332 KachelY + 1 24185 0.94876712 -1.12994937 54.360352 -64.741330
    Unten rechts KachelX + 1 21333 KachelY + 1 24185 0.94895886 -1.12994937 54.371338 -64.741330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12986754--1.12994937) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dl = 521.338930000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12986754--1.12994937) × R
    8.18300000000605e-05 × 6371000     		dr = 521.338930000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94876712-0.94895886) × cos(-1.12986754) × R
    0.000191739999999996 × 0.4267796026254 × 6371000     		do = 521.343523538097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94876712-0.94895886) × cos(-1.12994937) × R
    0.000191739999999996 × 0.426705597772437 × 6371000     		du = 521.253121019876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12986754)-sin(-1.12994937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4267796026254-0.426705597772437)×R²
    abs(0.94895886-0.94876712)×7.40048529632165e-05×R²
    0.000191739999999996×7.40048529632165e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.40048529632165e-05×40589641000000     		ar = 271773.109699787m²