Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21330 / 11639
↖ ↑ ↗
← N 81.365000°
W121.415405°		 ← 45.85 m → N 81.365000°
W121.412659°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
N 81.364587°
W121.415405°		 ← 45.85 m →
2 103 m²		 N 81.364587°
W121.412659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162738800048828 y=0.0888023376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162738800048828 × 217)
    floor (0.162738800048828 × 131072)
    floor (21330.5)     		tx = 21330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888023376464844 × 217)
    floor (0.0888023376464844 × 131072)
    floor (11639.5)     		ty = 11639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21330 / 11639 ti = "17/21330/11639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21330/11639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21330 ÷ 217
    21330 ÷ 131072     		x = 0.162734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11639 ÷ 217
    11639 ÷ 131072     		y = 0.0887985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.674530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11909858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887985229492188 × 2 - 1) × π
    0.822402954101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.58365507882217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11909858} λ = -2.11909858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58365507882217))-π/2
    2×atan(13.2454630016121)-π/2
    2×1.49544173094057-π/2
    2.99088346188114-1.57079632675     		φ = 1.42008714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11909858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.415405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42008714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.365000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21330 KachelY 11639 -2.11909858 1.42008714 -121.415405 81.365000
    Oben rechts KachelX + 1 21331 KachelY 11639 -2.11905065 1.42008714 -121.412659 81.365000
    Unten links KachelX 21330 KachelY + 1 11640 -2.11909858 1.42007994 -121.415405 81.364587
    Unten rechts KachelX + 1 21331 KachelY + 1 11640 -2.11905065 1.42007994 -121.412659 81.364587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42008714-1.42007994) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42008714-1.42007994) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11909858--2.11905065) × cos(1.42008714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15013931822682 × 6371000     		do = 45.846846996586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11909858--2.11905065) × cos(1.42007994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150146436609847 × 6371000     		du = 45.8490206804773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42008714)-sin(1.42007994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15013931822682-0.150146436609847)×R²
    abs(-2.11905065--2.11909858)×7.11838302649981e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.11838302649981e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.11838302649981e-06×40589641000000     		ar = 2103.09974273142m²